ماذا تعني فترة الثقة 95% حقًا، وكيف تُحسب

لا تكتفي فترة الثقة بتقديم تقدير واحد، بل تعبّر أيضًا عن عدم اليقين المرتبط به: «القيمة الحقيقية تقع على الأرجح في هذا المدى». وعبارة «هامش الخطأ ±3 نقاط» في الاستطلاعات هي أحد أشكال فترة الثقة. ومع ذلك، كثيرًا ما يُساء فهم عبارة «فترة ثقة 95%». يحدد هذا الدليل أولًا معناها الدقيق، ثم يحسب فترات الثقة للوسط وللنسبة.

95% من ماذا؟

وسط المجتمع μ مجهول لكنه ثابت. أما فترة الثقة فهي فترة عشوائية تتغير من عينة إلى أخرى. لذلك فإن نسبة 95% تخص الطريقة التي تُبنى بها الفترة.

لو واصلت سحب العينات بالطريقة نفسها وبناء الفترات، لاحتوت نحو 95% من تلك الفترات على القيمة الحقيقية.

القول إن فترة واحدة محسوبة، مثل [45.74, 54.26]، «تحتوي على μ باحتمال 95%» غير صحيح بالمعنى الدقيق. فتلك الفترة إما تحتوي على μ وإما لا تحتويها، ونحن ببساطة لا نعرف أيهما. وفي التطبيق يُقال شيء مثل «عند مستوى ثقة 95%، يُقدَّر وسط المجتمع بين 45.74 و54.26»، وهو تعبير عن موثوقية الطريقة.

وهناك قراءتان خاطئتان شائعتان أخريان:

• «95% من البيانات تقع في هذه الفترة»: لا. فترة الثقة تتعلق بمَعلَمة (مثل الوسط)، والبيانات المفردة تنتشر على مدى أوسع بكثير.
• «وسط العينة التالية سيقع داخلها باحتمال 95%»: لا أيضًا. فهذا سؤال يخص فترة التنبؤ.

البنية الأساسية

تشترك معظم فترات الثقة في شكل واحد:

• التقدير ± القيمة الحرجة × الخطأ المعياري

تكبر القيمة الحرجة مع مستوى الثقة، ويصغر الخطأ المعياري مع كبر العينة. فرفع مستوى الثقة يوسّع الفترة، وتكبير العينة يضيّقها. والخطأ المعياري متناسب مع 1/√n، لذا يتطلب تنصيف العرض أربعة أضعاف العينة.

z أم t؟

في فترة الثقة للوسط، تتوقف القيمة الحرجة على ما إذا كان الانحراف المعياري للمجتمع σ معلومًا.

• σ معلوم (نادر): استخدم z من التوزيع الطبيعي المعياري، وقيمتها 1.96 عند 95%.
• σ مجهول ويُستعاض عنه بالانحراف المعياري للعينة s (المعتاد): استخدم توزيع t بدرجات حرية n−1.

قيمة t أكبر من z لأنها تعكس عدم اليقين الإضافي الناتج عن تقدير s، ويكبر الفرق كلما صغرت العينة.

المثال 1: فترة الثقة للوسط

عينة من 16 قيمة وسطها x̄ = 50 وانحرافها المعياري s = 8.

1. الخطأ المعياري: SE = s / √n = 8 / √16 = 2
2. درجات الحرية: 16 − 1 = 15، والقيمة الحرجة t عند 95% ≈ 2.1314
3. هامش الخطأ: 2.1314 × 2 ≈ 4.263
4. الفترة: 50 ± 4.263 → [45.74, 54.26]

أما استخدام z (1.96) بدلًا من ذلك فيعطي 50 ± 3.92 → [46.08, 53.92]، وهي فترة أضيق. واستخدام z حين يكون σ مجهولًا يجعل التغطية الفعلية أقل من 95%، لذا تتطلب العينات الصغيرة توزيع t.

المثال 2: فترة الثقة للنسبة (Wald وWilson)

هناك صيغ عدة للنسبة p، وأول ما يُدرَّس منها فترة Wald.

• Wald: p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n)

إذا أجاب 120 من 400 شخص بـ«نعم»، فإن p̂ = 0.30.

1. الخطأ المعياري: √(0.30 × 0.70 / 400) ≈ 0.02291
2. هامش الخطأ: 1.96 × 0.02291 ≈ 0.0449
3. فترة Wald عند 95%: [0.2551, 0.3449]

تُشتق فترة Wilson باستخدام القيمة المفترضة بدلًا من p̂ داخل الخطأ المعياري. صيغتها أطول قليلًا، لكن سلوكها أفضل.

• Wilson: المركز (p̂ + z²/(2n)) / (1 + z²/n)، ونصف العرض z/(1 + z²/n) × √(p̂(1−p̂)/n + z²/(4n²))

وهي تعطي للبيانات نفسها [0.2572, 0.3466]، أي تكاد تطابق Wald. فعندما تكون n كبيرة وتكون p̂ بعيدة عن 0 أو 1، تتقارب الطريقتان كثيرًا.

يظهر الفرق مع العينات الصغيرة أو النسب القريبة من الأطراف. لنأخذ 2 من 20 (p̂ = 0.10):

الحد الأدنى لفترة Wald سالب، وهذا لا معنى له للنسبة. ومن المعروف أيضًا أن التغطية الفعلية لفترات Wald في مثل هذه الظروف تقل كثيرًا عن النسبة الاسمية 95%. أما فترة Wilson فتبقى ضمن المدى من 0 إلى 1، وينجذب مركزها قليلًا نحو 0.5، وتكون تغطيتها أقرب إلى النسبة الاسمية. ولهذه الأسباب يُوصى اليوم غالبًا بـ Wilson خيارًا افتراضيًا.

فترات الثقة واختبارات الفرضيات

فترة الثقة 95% للوسط واختبار t ثنائي الطرف عند مستوى 0.05 يعرضان المعلومة نفسها بطريقتين مختلفتين. إذا وقعت قيمة μ₀ خارج فترة 95%، فإن القيمة p ثنائية الطرف للفرضية الصفرية «وسط المجتمع يساوي μ₀» تكون أقل من 0.05، وإذا وقعت داخلها تكون القيمة p مساوية لـ 0.05 أو أكبر.

الفترة في المثال 1، [45.74, 54.26]، لا تحتوي على 45. وبالفعل يعطي اختبار t لعينة واحدة مقابل μ₀ = 45 القيمة t = (50 − 45) / 2 = 2.5، ومع 15 درجة حرية تكون p ثنائية الطرف ≈ 0.0245، أي أقل من 0.05. وتضيف فترة الثقة مدى القيم المعقولة، فهي تحمل معلومات أكثر من قيمة p منفردة.

ولحجم العينة أثره أيضًا. مع x̄ = 50 وs = 8 نفسيهما ولكن مع 64 مشاهدة، يكون الخطأ المعياري 8 / 8 = 1، والقيمة الحرجة t عند 63 درجة حرية نحو 1.998، فتكون الفترة 50 ± 2.00 → [48.00, 52.00]. فقد أدى مضاعفة العينة أربع مرات إلى تقليص العرض من نحو 8.53 إلى 4.00، أي إلى أقل من النصف بقليل، لأن القيمة الحرجة t صغرت هي الأخرى.

نصائح عملية

• اذكر مستوى الثقة والطريقة، مثل «فترة ثقة 95% (توزيع t)» أو «فترة ثقة 95% (Wilson)».
• لا تستنتج «عدم وجود فرق» لمجرد تداخل فترتين. احسب فترة للفرق مباشرة.
• التمثيلية أولًا. لا تعكس فترة الثقة إلا خطأ المعاينة العشوائية، لا تحيز الاستجابة ولا تحيز الاختيار.

تحسب حاسبة فترة الثقة في هذا الموقع فترات الوسط (z وt) وفترات النسبة (Wald وWilson) جنبًا إلى جنب.

خلاصة

• نسبة 95% هي التغطية طويلة الأمد للطريقة، لا احتمال أن تقع μ في فترة واحدة محسوبة.
• لفترة الثقة الشكل التقدير ± القيمة الحرجة × الخطأ المعياري، وتنصيف عرضها يتطلب أربعة أضعاف العينة.
• استخدم t حين يكون σ مجهولًا. فمع n = 16 وx̄ = 50 وs = 8، تكون فترة 95% هي [45.74, 54.26].
• بالنسبة إلى 120 من 400، تكون فترة 95% هي [0.2551, 0.3449] (Wald) و[0.2572, 0.3466] (Wilson).
• مع العينات الصغيرة أو النسب المتطرفة (مثل 2 من 20) قد تعطي Wald حدًا أدنى سالبًا، لذا يُوصى بـ Wilson.

→ احسب الآن: فترة الثقة

آخر تحديث 2026-09-23