Selang kepercayaan adalah cara menyampaikan ketidakpastian, yaitu "nilai sebenarnya kemungkinan ada dalam rentang ini", alih-alih hanya melaporkan satu nilai taksiran. "Margin of error ±3 poin persentase" pada hasil survei juga salah satu bentuk selang kepercayaan. Namun, ungkapan selang kepercayaan 95% sering disalahtafsirkan. Artikel ini lebih dulu meluruskan artinya, lalu menghitung selang kepercayaan rata-rata dan proporsi dengan contoh.
95% itu 95% dari apa
Rata-rata populasi μ tidak diketahui, tetapi merupakan satu nilai yang tetap. Sebaliknya, selang kepercayaan adalah selang acak yang berubah setiap kali sampel berbeda. Jadi, peluang 95% itu melekat pada metode pembentukan selang.
Jika sampel terus diambil dengan cara yang sama dan selang kepercayaan terus dibuat, sekitar 95% dari selang-selang itu memuat nilai sebenarnya.
Untuk satu selang yang sudah selesai dihitung, misalnya [45.74, 54.26], mengatakan "peluang μ berada di dalamnya adalah 95%" secara ketat merupakan ungkapan yang salah. Selang ini memuat μ atau tidak, hanya saja kita tidak mengetahuinya. Dalam praktik, dipakai ungkapan yang menonjolkan keandalan metode, seperti "pada tingkat kepercayaan 95%, rata-rata populasi ditaksir berada di antara 45.74 dan 54.26".
Berikut juga salah kaprah yang umum.
- "95% data berada dalam selang ini": salah. Selang kepercayaan adalah selang untuk parameter (misalnya rata-rata), dan rentang data individual jauh lebih lebar.
- "Rata-rata sampel berikutnya akan masuk ke selang ini dengan peluang 95%": juga salah. Itu adalah persoalan selang prediksi.
Struktur dasar selang kepercayaan
Sebagian besar selang kepercayaan memiliki bentuk yang sama.
taksiran ± nilai kritis × galat baku
Nilai kritis makin besar bila tingkat kepercayaan makin tinggi, dan galat baku makin kecil bila sampel makin besar. Karena itu, menaikkan tingkat kepercayaan melebarkan selang, dan menambah sampel menyempitkannya. Galat baku sebanding dengan 1/√n, sehingga untuk memperkecil lebar selang menjadi separuhnya, sampel harus diperbesar 4 kali.
z atau t, mana yang dipakai
Pada selang kepercayaan rata-rata, nilai kritis bergantung pada apakah simpangan baku populasi σ diketahui.
- σ diketahui (jarang): memakai nilai z dari distribusi normal baku. Untuk 95% nilainya
1.96. - σ tidak diketahui dan diganti simpangan baku sampel s (umumnya): memakai nilai t dari distribusi t dengan derajat bebas
n−1.
Nilai t lebih besar daripada z karena mencerminkan ketidakpastian tambahan akibat menaksir s. Makin kecil sampel, makin besar selisihnya.
| Derajat bebas | Nilai kritis t 95% |
|---|---|
| 2 | sekitar 4.303 |
| 5 | sekitar 2.571 |
| 10 | sekitar 2.228 |
| 15 | sekitar 2.131 |
| 30 | sekitar 2.042 |
| 100 | sekitar 1.984 |
| Tak hingga (z) | sekitar 1.960 |
Contoh 1: Selang kepercayaan rata-rata
Misalkan 16 sampel memiliki rata-rata x̄ = 50 dan simpangan baku sampel s = 8.
- Galat baku:
SE = s / √n = 8 / √16 = 2 - Derajat bebas:
16 − 1 = 15, nilai kritis t 95%≈ 2.1314 - Margin of error:
2.1314 × 2 ≈ 4.263 - Selang kepercayaan:
50 ± 4.263→[45.74, 54.26]
Jika perhitungan yang sama dilakukan dengan z (1.96), hasilnya 50 ± 3.92 → [46.08, 53.92], selangnya lebih sempit. Jika z dipakai padahal σ tidak diketahui, tingkat cakupan sebenarnya kurang dari 95%, jadi pada sampel kecil harus dipakai t.
Contoh 2: Selang kepercayaan proporsi (Wald dan Wilson)
Ada beberapa rumus selang kepercayaan untuk proporsi p. Yang paling pertama muncul di buku teks adalah selang Wald.
- Wald:
p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n)
Jika 120 dari 400 orang menjawab "ya", maka p̂ = 0.30.
- Galat baku:
√(0.30 × 0.70 / 400) ≈ 0.02291 - Margin of error:
1.96 × 0.02291 ≈ 0.0449 - Selang Wald 95%:
[0.2551, 0.3449]
Selang Wilson diturunkan dari cara yang memakai nilai hipotesis alih-alih p̂ di dalam galat baku; rumusnya sedikit lebih rumit tetapi sifatnya baik.
- Wilson: pusat
(p̂ + z²/(2n)) / (1 + z²/n), setengah lebarz/(1 + z²/n) × √(p̂(1−p̂)/n + z²/(4n²))
Jika diterapkan pada data yang sama hasilnya [0.2572, 0.3466], hampir sama dengan Wald. Jika n besar dan p̂ jauh dari 0 atau 1, kedua metode memberi hasil yang mirip.
Perbedaannya tampak ketika sampel kecil atau proporsi mendekati ekstrem. Mari lihat kasus 2 dari 20 orang (p̂ = 0.10).
| Metode | Selang 95% |
|---|---|
| Wald | [−0.0315, 0.2315] |
| Wilson | [0.0279, 0.3010] |
Batas bawah selang Wald menjadi negatif sehingga tidak masuk akal sebagai proporsi. Selain itu, dalam kondisi seperti ini tingkat cakupan sebenarnya dari selang Wald diketahui jauh lebih rendah daripada nominal 95%. Selang Wilson tidak keluar dari rentang 0–1, pusatnya sedikit tertarik ke arah 0.5, dan tingkat cakupannya lebih dekat ke nilai nominal. Karena itu, kini selang Wilson sering dianjurkan sebagai pilihan bawaan.
Hubungan selang kepercayaan dan uji hipotesis
Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata dan uji t dua arah dengan tingkat signifikansi 0.05 menunjukkan informasi yang sama dengan cara berbeda. Jika suatu nilai μ₀ berada di luar selang kepercayaan 95%, nilai p dua arah untuk hipotesis nol "rata-rata populasi adalah μ₀" lebih kecil dari 0.05. Sebaliknya, jika berada di dalam selang, nilai p 0.05 atau lebih.
Selang [45.74, 54.26] pada Contoh 1 tidak memuat 45. Benar saja, uji t satu sampel dengan hipotesis nol μ₀ = 45 memberi t = (50 − 45) / 2 = 2.5, dan dengan derajat bebas 15 nilai p dua arahnya ≈ 0.0245, lebih kecil dari 0.05. Selang kepercayaan juga menunjukkan "rentang nilai yang masuk akal", sehingga informasinya lebih banyak daripada satu nilai p saja.
Mari periksa juga pengaruh ukuran sampel. Dengan x̄ = 50 dan s = 8 yang sama, jika sampelnya 64, galat bakunya 8 / 8 = 1, dan nilai kritis t untuk derajat bebas 63 sekitar 1.998, sehingga selangnya 50 ± 2.00 → [48.00, 52.00]. Dengan memperbesar sampel 4 kali, lebarnya turun dari sekitar 8.53 menjadi 4.00, kurang dari separuh (karena nilai kritis t juga ikut mengecil).
Tips praktis
- Tuliskan tingkat kepercayaan dan metodenya. Misalnya "95% CI (distribusi t)", "95% CI (Wilson)".
- Jangan menyimpulkan tidak ada perbedaan hanya karena dua selang tumpang-tindih. Lebih tepat menghitung langsung selang kepercayaan untuk selisih dua rata-rata.
- Keterwakilan sampel adalah yang utama. Selang kepercayaan hanya mencerminkan galat pengambilan sampel acak, tidak mencerminkan bias respons atau bias seleksi sampel.
Di kalkulator selang kepercayaan situs ini, Anda dapat menghitung selang rata-rata (z·t) dan proporsi (Wald·Wilson) secara berdampingan.
Ringkasan
- 95% adalah tingkat cakupan jangka panjang dari metode pembentukan selang, bukan peluang μ berada dalam satu selang yang sudah dihitung.
- Selang kepercayaan berstruktur
taksiran ± nilai kritis × galat baku, dan untuk memperkecil lebarnya menjadi separuh, sampel harus diperbesar 4 kali. - Jika σ tidak diketahui, pakai distribusi t. Selang 95% untuk n=16, x̄=50, s=8 adalah
[45.74, 54.26]. - Selang 95% untuk proporsi 120/400 adalah Wald
[0.2551, 0.3449], Wilson[0.2572, 0.3466]. - Pada sampel kecil atau proporsi ekstrem (misalnya 2/20), Wald tidak akurat, misalnya memberi batas bawah negatif, sehingga Wilson dianjurkan.