Distribusi normal adalah distribusi berbentuk lonceng yang simetris di sekitar rata-rata. Nilai yang terbentuk dari penjumlahan banyak faktor kecil, seperti tinggi badan, galat pengukuran, dan banyak nilai ujian, sering kali mendekati distribusi normal. Selain itu, rata-rata sampel mendekati distribusi normal bila sampelnya cukup besar, apa pun distribusi aslinya (teorema limit pusat); berkat inilah sebagian besar selang kepercayaan dan uji hipotesis dibangun di atas distribusi normal.
Dua nilai yang menentukan distribusi normal
Distribusi normal sepenuhnya ditentukan oleh dua nilai: rata-rata μ dan simpangan baku σ. Notasinya ditulis seperti N(μ, σ²) (posisi kedua adalah varians).
- μ menentukan letak tengah lonceng.
- σ menentukan lebar lonceng. Jika σ besar, lonceng rendah dan lebar; jika kecil, lonceng tinggi dan sempit.
- Rata-rata, median, dan modus semuanya sama dengan μ.
- Luas total di bawah kurva adalah 1, dan luas suatu interval adalah peluang nilai jatuh di interval tersebut.
Skor z: menyatukan skala yang berbeda
Skor z menunjukkan berapa simpangan baku jarak suatu nilai dari rata-rata.
z = (x − μ) / σ
Dengan mengubah ke skor z, setiap distribusi normal menjadi distribusi normal baku N(0, 1) dengan rata-rata 0 dan simpangan baku 1. Karena itu, satu tabel (atau satu kalkulator) cukup untuk menghitung peluang semua distribusi normal. Skor z tidak bersatuan, sehingga berguna juga untuk membandingkan nilai dua ujian dengan skala berbeda. Misalnya, nilai 85 pada ujian dengan rata-rata 70·simpangan baku 10 (z=1.5) relatif lebih tinggi daripada nilai 80 pada ujian dengan rata-rata 60·simpangan baku 20 (z=1.0).
Aturan 68–95–99.7
Jika interval diambil dalam satuan simpangan baku, proporsi yang masuk ke dalamnya pada distribusi normal selalu sama.
| Interval | Proporsi di dalam (nilai tepat) | Proporsi di luar |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | sekitar 68.27% | sekitar 31.73% |
| μ ± 2σ | sekitar 95.45% | sekitar 4.55% |
| μ ± 3σ | sekitar 99.73% | sekitar 0.27% |
Aturan ini adalah pendekatan untuk hitungan cepat. Interval yang tepat memuat 95% bukan ±2σ melainkan ±1.96σ, dan inilah alasan angka 1.96 muncul dalam selang kepercayaan. Serupa dengan itu, 90% adalah ±1.645σ dan 99% adalah ±2.576σ.
Cara membaca peluang kumulatif
Nilai paling dasar dalam perhitungan distribusi normal adalah peluang kumulatif P(X ≤ x), yaitu peluang nilai kurang dari atau sama dengan x. Pada distribusi normal baku ditulis Φ(z). Semua peluang lain dibentuk dari nilai ini.
- Peluang x atau lebih:
P(X ≥ x) = 1 − Φ(z) - Peluang antara a dan b:
P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) − Φ(z_a) - Simetri:
Φ(−z) = 1 − Φ(z)
Pada distribusi kontinu, peluang satu titik adalah 0, sehingga perbedaan ≤ dan < tidak memengaruhi hasil.
Contoh 1: Peluang di bawah nilai tertentu
Misalkan nilai suatu ujian mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 10.
Peluang nilai 85 atau kurang
- Skor z:
z = (85 − 70) / 10 = 1.5 - Peluang kumulatif:
Φ(1.5) ≈ 0.9332 - Tafsiran: sekitar 93.32% peserta mendapat nilai 85 atau kurang. Nilai 85 termasuk sekitar 6.68% teratas.
Peluang nilai antara 60 dan 85
- Skor z untuk 60:
(60 − 70) / 10 = −1.0→Φ(−1.0) ≈ 0.1587 - Skor z untuk 85:
1.5→Φ(1.5) ≈ 0.9332 - Selisih:
0.9332 − 0.1587 ≈ 0.7745 - Tafsiran: sekitar 77.45% peserta berada di antara nilai 60 dan 85.
Peluang nilai 55 atau kurang
Skor z-nya −1.5, dan menurut simetri Φ(−1.5) = 1 − 0.9332 ≈ 0.0668. Nilainya persis sama dengan peluang mendapat 85 atau lebih.
Contoh 2: Menghitung balik skor batas x% teratas
Kali ini sebaliknya, skor dicari dari peluang. "Berapa nilai yang dibutuhkan untuk masuk 10% teratas" sama dengan menanyakan "skor yang bersesuaian dengan peluang kumulatif 0.90".
- Cari nilai z untuk peluang kumulatif 0.90:
z = Φ⁻¹(0.90) ≈ 1.2816 - Kembalikan ke skala asli:
x = μ + z × σ = 70 + 1.2816 × 10 ≈ 82.82 - Tafsiran: nilai sekitar 82.82 atau lebih termasuk 10% teratas.
Dengan cara yang sama, 5% teratas memiliki z ≈ 1.6449 sehingga nilainya 70 + 16.449 ≈ 86.45. Untuk x% terbawah, masukkan langsung peluang kumulatif x.
| Batas | Peluang kumulatif | Nilai z | Skor (μ=70, σ=10) |
|---|---|---|---|
| 25% teratas | 0.75 | sekitar 0.6745 | sekitar 76.74 |
| 10% teratas | 0.90 | sekitar 1.2816 | sekitar 82.82 |
| 5% teratas | 0.95 | sekitar 1.6449 | sekitar 86.45 |
| 1% teratas | 0.99 | sekitar 2.3263 | sekitar 93.26 |
Contoh 3: Menerapkan pada rata-rata sampel
Perhitungan distribusi normal bisa dipakai bukan hanya untuk skor individual, tetapi juga untuk rata-rata sampel. Pada ujian dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 10, mari hitung peluang rata-rata nilai 25 orang yang dipilih acak adalah 74 atau lebih.
- Simpangan baku rata-rata sampel (galat baku):
σ / √n = 10 / √25 = 2 - Skor z:
z = (74 − 70) / 2 = 2.0 - Peluang:
1 − Φ(2.0) ≈ 0.0228
Peluang seorang siswa mendapat 74 atau lebih adalah 1 − Φ(0.4) ≈ 0.3446, cukup umum, tetapi peluang rata-rata 25 orang mencapai 74 atau lebih hanya sekitar 2.28%, jarang terjadi. Ini karena rata-rata jauh kurang tersebar dibanding nilai individual. Inilah titik awal selang kepercayaan dan uji hipotesis.
Hal yang perlu diperhatikan
- Periksa asumsi normalitas. Jika distribusi normal diterapkan pada data berekor panjang di satu sisi, seperti pendapatan dan waktu tunggu, peluang di bagian ekor akan sangat meleset. Periksa dulu bentuknya dengan histogram atau plot Q-Q.
- Data yang memiliki batas atas dan bawah (seperti ujian 0–100) dapat menyimpang dari distribusi normal di kedua ujung. Berhati-hatilah terutama saat menghitung balik batas ekstrem seperti 1% teratas.
- Bedakan parameter dan taksiran. Jika μ dan σ ditaksir dari sampel, hasilnya pun tidak pasti sebesar galat taksiran tersebut.
Masukkan rata-rata dan simpangan baku ke kalkulator distribusi normal di situs ini untuk langsung melihat peluang kumulatif, peluang interval, dan nilai hitung balik.
Ringkasan
- Distribusi normal ditentukan oleh rata-rata μ dan simpangan baku σ, dan dapat diubah ke distribusi normal baku dengan
z = (x − μ) / σ. - Dalam μ ± 1σ, 2σ, 3σ masing-masing terdapat sekitar 68.27%, 95.45%, 99.73%, dan interval 95% yang tepat adalah ±1.96σ.
- Dengan rata-rata 70·simpangan baku 10, peluang nilai 85 atau kurang sekitar 0.9332, dan peluang di antara 60–85 sekitar 0.7745.
- Galat baku rata-rata sampel 25 orang adalah
10 / √25 = 2, dan peluang rata-ratanya 74 atau lebih sekitar 0.0228. - Batas 10% teratas dicari dengan invers peluang kumulatif, seperti
70 + 1.2816 × 10 ≈ 82.82. - Jangan menerapkan distribusi normal begitu saja pada data yang menceng ke satu sisi.