Kuartil adalah nilai batas yang membagi data terurut menjadi empat bagian. Kuartil pertama Q1 adalah titik 25% terbawah, kuartil kedua Q2 adalah median, dan kuartil ketiga Q3 adalah titik 75% terbawah. Konsepnya sederhana, tetapi jika data yang sama dihitung dengan Excel, R, dan buku teks statistik, Q1 dan Q3 sering kali berbeda. Bukan kalkulatornya yang salah; ada beberapa konvensi tentang cara menentukan posisi di antara data.
Mengapa ada banyak metode
Jika ada 10 data, "titik 25% terbawah" tidak jatuh tepat pada satu nilai. Bisa dikatakan sekitar nilai ke-2.5, bisa juga ke-3.25. Perangkat lunak statistik R merangkum definisi semacam ini menjadi 9 jenis (type 1–9), dan tiga yang paling banyak dipakai adalah sebagai berikut.
| Metode | Rumus posisi (nilai ke-k setelah diurutkan) | Contoh penggunaan |
|---|---|---|
| R type 7 | k = (n−1)p + 1 | Excel QUARTILE.INC·PERCENTILE.INC, bawaan R, bawaan NumPy |
| R type 6 | k = (n+1)p | Excel QUARTILE.EXC·PERCENTILE.EXC, sebagian buku teks·Minitab |
| Engsel Tukey | Bagi dua dengan median, lalu ambil median tiap separuh | Analisis data eksploratif, buku teks diagram kotak, R fivenum() |
Jika posisi k bukan bilangan bulat, dilakukan interpolasi linear di antara dua nilai di depan dan di belakangnya. Misalnya jika k = 3.25, nilai ke-3 ditambah 0.25 kali (nilai ke-4 − nilai ke-3). Menurut definisi aslinya, engsel Tukey memasukkan median ke kedua separuh saat n ganjil.
Data sama, kuartil berbeda
Berikut 10 nilai yang sudah diurutkan.
2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 25
Median adalah rata-rata nilai ke-5 dan ke-6, yaitu (8+10)/2 = 9, sama untuk ketiga metode. Perbedaannya muncul pada Q1 dan Q3.
type 7 (Excel QUARTILE.INC)
- Posisi Q1:
(10−1)×0.25 + 1 = 3.25→5 + 0.25×(7−5) = 5.5 - Posisi Q3:
(10−1)×0.75 + 1 = 7.75→12 + 0.75×(13−12) = 12.75
type 6 (Excel QUARTILE.EXC)
- Posisi Q1:
(10+1)×0.25 = 2.75→4 + 0.75×(5−4) = 4.75 - Posisi Q3:
(10+1)×0.75 = 8.25→13 + 0.25×(15−13) = 13.5
Engsel Tukey
- Median separuh bawah
2, 4, 5, 7, 8→5 - Median separuh atas
10, 12, 13, 15, 25→13
| Metode | Q1 | Q3 | IQR |
|---|---|---|---|
| type 7 (INC) | 5.5 | 12.75 | 7.25 |
| type 6 (EXC) | 4.75 | 13.5 | 8.75 |
| Engsel Tukey | 5 | 13 | 8 |
type 6 cenderung memberi nilai yang sedikit lebih melebar ke kedua ujung, type 7 memberi nilai yang lebih merapat ke dalam, dan engsel Tukey sering berada di antaranya. Jika data berjumlah ratusan atau lebih, perbedaan antarmetode hampir hilang, tetapi pada data puluhan atau kurang, tafsiran hasilnya pun bisa berubah.
IQR dan pagar 1.5×IQR
Jangkauan antarkuartil IQR = Q3 − Q1 adalah lebar yang ditempati 50% data di tengah. Rata-rata dan simpangan baku sangat terpengaruh nilai ekstrem, tetapi IQR hanya melihat separuh tengah sehingga tahan terhadap nilai ekstrem.
Kriteria pencilan yang diusulkan Tukey adalah sebagai berikut.
- Pagar bawah:
Q1 − 1.5 × IQR - Pagar atas:
Q3 + 1.5 × IQR - Nilai yang berada di luar pagar ditandai sebagai kandidat pencilan. Nilai di luar
3 × IQRkadang dipisahkan sebagai pencilan ekstrem.
Mari terapkan pada nilai maksimum data contoh, yaitu 25.
| Metode | Pagar bawah | Pagar atas | Apakah 25 pencilan |
|---|---|---|---|
| type 7 | 5.5 − 1.5×7.25 = −5.375 | 12.75 + 1.5×7.25 = 23.625 | Ya (melebihi 23.625) |
| type 6 | 4.75 − 1.5×8.75 = −8.375 | 13.5 + 1.5×8.75 = 26.625 | Tidak |
| Engsel Tukey | 5 − 1.5×8 = −7 | 13 + 1.5×8 = 25 | Tepat di batas (bukan di luar) |
Nilai 25 yang sama bisa menjadi pencilan atau tidak, tergantung metodenya. Karena itu laporan harus mencantumkan definisi kuartil yang dipakai, dan kriteria 1.5×IQR sebaiknya dipakai sebagai alat untuk memilih "nilai yang perlu diperiksa ulang", bukan "nilai yang harus dibuang".
Cara membaca diagram kotak
Diagram kotak (box plot) adalah gambaran kuartil.
- Kotak: sisi bawah adalah Q1, sisi atas adalah Q3. Tinggi kotak sama dengan IQR.
- Garis di dalam kotak: median. Jika garis condong ke salah satu sisi kotak, distribusinya tidak simetris.
- Kumis (whisker): ditarik sampai data terjauh yang masih berada di dalam pagar. Bukan ditarik sampai nilai pagar itu sendiri.
- Titik: titik-titik individual di luar kumis adalah kandidat pencilan.
Jika kumis atas lebih panjang daripada kumis bawah dan ada titik di atas, dapat dicurigai distribusi berekor kanan panjang (kemencengan positif). Bentuk ini umum pada data yang tidak bisa kurang dari 0, seperti pendapatan, durasi kunjungan, dan waktu tunggu.
Tips praktis
- Jika hasil harus sama dengan alat lain, periksa dulu definisi yang dipakai alat tersebut. Untuk dibandingkan dengan pengguna Excel, type 7 (INC) paling aman.
- Putuskan pencilan setelah memeriksa penyebabnya. Jika itu kesalahan input (salah satuan, salah digit), perbaiki; jika memang nilai ekstrem yang benar-benar terjadi, biarkan dan laporkan juga statistik yang kokoh seperti median dan IQR.
- Persentil memiliki masalah yang sama. Persentil selain kuartil, seperti batas 10% teratas (persentil ke-90), juga berubah nilainya tergantung pilihan rumus posisi.
- Pada sampel kecil, kuartil itu sendiri tidak stabil. Jika data sekitar 10 buah, menampilkan seluruh data mentah sebagai titik memberi lebih banyak informasi daripada kuartil.
Di kalkulator statistik deskriptif situs ini, Anda dapat mengganti metode kuartil pada data yang sama dan membandingkan Q1·Q3·IQR·pagar pencilan.
Ringkasan
- Kuartil tidak memiliki satu definisi baku; Excel
QUARTILE.INCsetara dengan R type 7, danQUARTILE.EXCsetara dengan R type 6. - Pada contoh
2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 25, Q1·Q3 adalah 5.5·12.75 untuk type 7, 4.75·13.5 untuk type 6, dan 5·13 untuk engsel Tukey. - Pagar pencilan adalah
Q1 − 1.5×IQRdanQ3 + 1.5×IQR, dan status pencilan suatu nilai dapat berubah tergantung metodenya. - Kumis diagram kotak ditarik sampai data terjauh di dalam pagar.
- Cantumkan definisi kuartil dalam laporan, dan perlakukan pencilan sebagai objek pemeriksaan, bukan penghapusan.