Simpangan baku adalah ukuran yang paling luas dipakai untuk menunjukkan seberapa jauh data tersebar dari rata-ratanya. Namun, saat menghitung simpangan baku dengan kalkulator atau Excel, kadang muncul dua nilai yang berbeda. Yang satu membagi jumlah kuadrat simpangan dengan n, yang lain dengan n−1. Artikel ini menjelaskan arti kedua rumus tersebut, mengapa sampel memakai n−1, dan mana yang harus dipilih dalam praktik, lengkap dengan contoh.
Perbedaan dua rumus
Simpangan baku ketika seluruh populasi diketahui (simpangan baku populasi) adalah sebagai berikut.
- Simpangan baku populasi:
σ = √(Σ(x−μ)² / N)
Ketika menaksir sebaran populasi dari sampel yang hanya berisi sebagian populasi, dipakai rumus berikut.
- Simpangan baku sampel:
s = √(Σ(x−x̄)² / (n−1))
Ada dua perbedaan. Pertama, titik pusatnya adalah rata-rata sampel x̄, bukan rata-rata populasi μ. Kedua, pembaginya n−1, bukan n. Perbedaan kedua ini disebut koreksi Bessel (Bessel's correction).
Mengapa dibagi n−1
Rata-rata sampel x̄ dihitung dari sampel itu sendiri, sehingga letaknya paling dekat dengan data-data sampel. Faktanya, jumlah kuadrat simpangan Σ(x−c)² mencapai nilai terkecil ketika c adalah rata-rata sampel. Karena itu, jika simpangan diukur terhadap x̄ alih-alih rata-rata populasi yang sebenarnya μ, jumlah kuadrat simpangan akan secara sistematis lebih kecil.
Secara matematis, nilai harapan varians yang dibagi n adalah (n−1)/n × σ². Misalnya, jika ukuran sampel 5, varians yang dibagi n rata-rata hanya 4/5 = 80% dari varians sebenarnya. Untuk mengoreksi taksiran yang terlalu rendah ini, dikalikan n/(n−1) sehingga akhirnya menjadi rumus yang membagi dengan n−1. Hasilnya, s² menjadi penaksir tak bias bagi varians populasi σ².
Penjelasan lain memakai derajat bebas. n buah simpangan (x−x̄) memiliki satu kendala: jumlahnya harus selalu 0. Jadi, begitu n−1 simpangan ditentukan, simpangan terakhir otomatis ditetapkan. Karena informasi yang bebas bergerak ada n−1 buah, kita membagi dengan n−1.
Catatan:
s²adalah penaksir tak bias bagiσ², tetapisyang diakarkan bukan penaksir tak bias bagiσ. Karena akar kuadrat adalah fungsi cekung,srata-rata sedikit lebih kecil daripadaσ. Namun, saat sampel membesar selisih ini menjadi sangat kecil sehingga dalam praktikstetap dipakai apa adanya.
Contoh hitung manual
Misalkan ada 8 nilai berikut.
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Langkah 1: Rata-rata
x̄ = (2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 = 40 / 8 = 5
Langkah 2: Simpangan dan kuadrat simpangan
| Nilai x | Simpangan x−x̄ | Kuadrat simpangan |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
Jumlah simpangan adalah −3−1−1−1+0+0+2+4 = 0, sesuai dengan kendala yang disebut di atas. Jumlah kuadrat simpangan adalah 9+1+1+1+0+0+4+16 = 32.
Langkah 3: Dua jenis varians dan simpangan baku
| Jenis | Varians | Simpangan baku |
|---|---|---|
| Basis populasi (÷n) | 32 / 8 = 4 | √4 = 2 |
| Basis sampel (÷(n−1)) | 32 / 7 ≈ 4.5714 | √4.5714 ≈ 2.1381 |
Jika 8 nilai ini adalah seluruh objek yang diamati, simpangan bakunya 2. Sebaliknya, jika 8 nilai ini diambil dari kelompok yang lebih besar untuk menaksir sebaran kelompok tersebut, yang dilaporkan adalah sekitar 2.1381. Saat n kecil seperti 8, selisih kedua nilai sekitar 7% dan cukup terlihat. Jika n = 100 selisihnya sekitar 0.5%, dan jika n = 1,000 menyusut menjadi sekitar 0.05%.
Kapan memakai yang mana
Kriterianya adalah: "Apakah data yang saya miliki merupakan keseluruhan objek yang ingin diketahui, atau hanya sebagian?"
- Populasi (÷n): ketika data adalah keseluruhan objek, misalnya menggambarkan sebaran nilai ujian 30 siswa hanya untuk kelas itu, atau menggambarkan distribusi gaji seluruh karyawan satu perusahaan.
- Sampel (÷(n−1)): ketika data adalah bagian dari kelompok yang lebih besar, misalnya menaksir kecenderungan seluruh warga negara dari 500 responden survei, atau menaksir variasi seluruh proses dari 20 komponen yang diambil dari lini produksi.
Sebagian besar data dalam praktik adalah sampel. Perhitungan yang berlanjut ke inferensi, seperti selang kepercayaan, uji t, dan perhitungan ukuran sampel, semuanya mengandaikan simpangan baku sampel s. Jika ragu, memakai rumus sampel adalah pilihan yang konservatif.
Padanan di Excel dan alat pemrograman
| Alat | Sampel (÷(n−1)) | Populasi (÷n) |
|---|---|---|
| Excel·Google Sheets | STDEV.S, VAR.S (versi lama STDEV) | STDEV.P, VAR.P (versi lama STDEVP) |
| R | sd(), var() | Perlu dikoreksi sendiri |
| Python pandas | Series.std() bawaan ddof=1 | std(ddof=0) |
| Python NumPy | np.std(x, ddof=1) | np.std(x) bawaan ddof=0 |
Khususnya, nilai bawaan NumPy dan pandas saling berlawanan, sehingga sering terjadi hasil berbeda walaupun datanya sama. Saat membandingkan hasil, sebaiknya periksa dulu rumus mana yang dipakai.
Cara membaca nilai simpangan baku
Simpangan baku memiliki satuan yang sama dengan data aslinya. Untuk data nilai ujian satuannya "poin", untuk data tinggi badan satuannya "cm". Varians memiliki satuan kuadrat sehingga sulit dibaca secara intuitif, maka yang biasa dilaporkan adalah simpangan baku. Jika data mendekati distribusi normal, secara kasar dapat ditafsirkan bahwa sekitar 68% nilai berada dalam rata-rata ± 1 simpangan baku, dan sekitar 95% dalam ± 2 simpangan baku. Saat membandingkan sebaran dua kelompok yang rata-ratanya sangat berbeda, kadang juga dilihat koefisien variasi (CV), yaitu simpangan baku dibagi rata-rata.
Kesalahan yang sering terjadi
- Tidak menuliskan rumus yang dipakai dalam laporan: pada sampel kecil nilainya berbeda cukup jelas, jadi cantumkan simbol
satauσ, atau ungkapan "simpangan baku sampel". - Mencampuradukkan simpangan baku dan galat baku: galat baku
SE = s / √nmenunjukkan sebaran rata-rata sampel, bukan sebaran data individual. Selang kepercayaan memakai galat baku. - Menghitung simpangan baku sampel saat n = 1: n−1 menjadi 0 sehingga tidak terdefinisi. Wajar jika kalkulator menampilkan galat.
- Tidak memeriksa pencilan: karena memakai kuadrat, simpangan baku sangat terpengaruh oleh satu nilai ekstrem. Jika dicurigai ada pencilan, lihat juga jangkauan antarkuartil (IQR).
Tempelkan data ke kalkulator statistik deskriptif di situs ini untuk melihat simpangan baku sampel dan populasi secara berdampingan.
Ringkasan
- Jika data adalah keseluruhan objek, bagi dengan n; jika bagian dari kelompok yang lebih besar, bagi dengan n−1.
- Nilai harapan varians sampel yang dibagi n adalah
(n−1)/n × σ²sehingga terlalu rendah; membagi dengan n−1 mengoreksinya (koreksi Bessel). - Simpangan baku contoh
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9adalah 2 untuk basis populasi dan sekitar 2.1381 untuk basis sampel. - Excel membedakan
STDEV.S(sampel) danSTDEV.P(populasi), sedangkan NumPy dan pandas memiliki nilai bawaan yang berbeda. - Bedakan simpangan baku (sebaran data) dan galat baku (sebaran rata-rata).