Доверительный интервал — способ сообщить не только одну оценку, но и неопределённость: «истинное значение, вероятно, лежит примерно в этом диапазоне». «Погрешность ±3 п.п.» в результатах опросов — тоже разновидность доверительного интервала. Однако выражение «95% доверительный интервал» часто понимают неправильно. В этой статье мы сначала разберём его точный смысл, а затем на примерах вычислим доверительные интервалы для среднего и для доли.
95% — это 95% чего?
Среднее генеральной совокупности μ неизвестно, но это одно фиксированное значение. А доверительный интервал — случайный интервал, который меняется от выборки к выборке. Поэтому вероятность 95% относится к методу построения интервала.
Если многократно брать выборки одним и тем же способом и строить по ним доверительные интервалы, около 95% построенных таким образом интервалов будут содержать истинное значение.
Про один уже вычисленный интервал, например [45.74, 54.26], говорить «μ лежит внутри с вероятностью 95%» строго говоря неверно. Этот интервал либо содержит μ, либо нет — мы просто этого не знаем. На практике используют формулировки, подчёркивающие надёжность метода, например: «с доверительной вероятностью 95% среднее генеральной совокупности оценивается в пределах от 45.74 до 54.26».
Распространены и следующие заблуждения.
- «95% данных лежат в этом интервале»: нет. Доверительный интервал относится к параметру (среднему и т. п.), а диапазон отдельных данных гораздо шире.
- «Среднее следующей выборки попадёт сюда с вероятностью 95%»: тоже нет. Это вопрос интервала предсказания.
Базовая структура доверительного интервала
Большинство доверительных интервалов устроены одинаково.
оценка ± критическое значение × стандартная ошибка
Критическое значение растёт с ростом доверительной вероятности, а стандартная ошибка уменьшается с ростом выборки. Поэтому повышение доверительной вероятности расширяет интервал, а увеличение выборки — сужает. Стандартная ошибка пропорциональна 1/√n, так что чтобы сузить интервал вдвое, выборку нужно увеличить в 4 раза.
z или t — что использовать
Критическое значение в доверительном интервале для среднего зависит от того, известно ли стандартное отклонение генеральной совокупности σ.
- σ известно (редко): используют значение z стандартного нормального распределения. Для 95% это
1.96. - σ неизвестно и заменяется выборочным стандартным отклонением s (почти всегда): используют значение t из t-распределения с
n−1степенями свободы.
Значение t больше z, поскольку учитывает дополнительную неопределённость от оценки s. Чем меньше выборка, тем больше эта разница.
| Степени свободы | Критическое значение t для 95% |
|---|---|
| 2 | около 4.303 |
| 5 | около 2.571 |
| 10 | около 2.228 |
| 15 | около 2.131 |
| 30 | около 2.042 |
| 100 | около 1.984 |
| Бесконечность (z) | около 1.960 |
Пример 1: доверительный интервал для среднего
Пусть среднее выборки из 16 значений x̄ = 50, а выборочное стандартное отклонение s = 8.
- Стандартная ошибка:
SE = s / √n = 8 / √16 = 2 - Степени свободы:
16 − 1 = 15, критическое значение t для 95%≈ 2.1314 - Предельная погрешность:
2.1314 × 2 ≈ 4.263 - Доверительный интервал:
50 ± 4.263→[45.74, 54.26]
Если сделать тот же расчёт с z (1.96), получится 50 ± 3.92 → [46.08, 53.92] — интервал уже. Если σ неизвестно, а используется z, реальная вероятность накрытия не дотягивает до 95%, поэтому при малых выборках нужно использовать t.
Пример 2: доверительный интервал для доли (Вальд и Уилсон)
Для доверительного интервала доли p существует несколько формул. Первым в учебниках обычно идёт интервал Вальда.
- Wald:
p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n)
Если из 400 человек «да» ответили 120, то p̂ = 0.30.
- Стандартная ошибка:
√(0.30 × 0.70 / 400) ≈ 0.02291 - Предельная погрешность:
1.96 × 0.02291 ≈ 0.0449 - 95% интервал Вальда:
[0.2551, 0.3449]
Интервал Уилсона выводится из подхода, при котором в стандартной ошибке вместо p̂ используется гипотетическое значение; формула немного сложнее, но свойства у неё лучше.
- Wilson: центр
(p̂ + z²/(2n)) / (1 + z²/n), полуширинаz/(1 + z²/n) × √(p̂(1−p̂)/n + z²/(4n²))
Для тех же данных получается [0.2572, 0.3466] — почти то же, что у Вальда. Если n велико, а p̂ далеко от 0 и 1, оба метода дают близкие результаты.
Разница проявляется при малой выборке или доле, близкой к краю. Рассмотрим случай 2 из 20 (p̂ = 0.10).
| Метод | 95% интервал |
|---|---|
| Wald | [−0.0315, 0.2315] |
| Wilson | [0.0279, 0.3010] |
Нижняя граница интервала Вальда отрицательна, что бессмысленно для доли. Кроме того, известно, что в таких условиях реальная вероятность накрытия интервала Вальда заметно ниже номинальных 95%. Интервал Уилсона не выходит за пределы 0~1, его центр немного смещается к 0.5, а вероятность накрытия ближе к номинальной. Поэтому сейчас интервал Уилсона часто рекомендуют по умолчанию.
Связь доверительного интервала и проверки гипотез
95% доверительный интервал для среднего и двусторонний t-критерий с уровнем значимости 0.05 показывают одну и ту же информацию разными способами. Если значение μ₀ лежит вне 95% доверительного интервала, двустороннее p-значение для нулевой гипотезы «среднее генеральной совокупности равно μ₀» меньше 0.05. И наоборот, если оно внутри интервала, p-значение не меньше 0.05.
Интервал из примера 1, [45.74, 54.26], не содержит 45. Действительно, одновыборочный t-критерий с нулевой гипотезой μ₀ = 45 даёт t = (50 − 45) / 2 = 2.5, и при 15 степенях свободы двустороннее p ≈ 0.0245, то есть меньше 0.05. Доверительный интервал вдобавок показывает «диапазон правдоподобных значений», поэтому информации в нём больше, чем в одном p-значении.
Проверим и влияние объёма выборки. При тех же x̄ = 50, s = 8 и выборке из 64 значений стандартная ошибка равна 8 / 8 = 1, критическое значение t при 63 степенях свободы — около 1.998, поэтому интервал — 50 ± 2.00 → [48.00, 52.00]. Увеличение выборки в 4 раза сократило ширину примерно с 8.53 до 4.00, то есть более чем вдвое (потому что уменьшилось и критическое значение t).
Практические советы
- Указывайте доверительную вероятность вместе с методом. Например: «95% ДИ (t-распределение)», «95% ДИ (Уилсон)».
- Не заключайте, что различия нет, только потому, что два интервала перекрываются. Точнее — напрямую вычислить доверительный интервал для разности двух средних.
- Прежде всего важна репрезентативность выборки. Доверительный интервал отражает только ошибку случайного отбора, но не смещение ответов и не смещение отбора выборки.
В калькуляторе доверительных интервалов на этом сайте можно рядом вычислить интервалы для среднего (z·t) и для доли (Вальд·Уилсон).
Главное
- 95% — это долгосрочная доля накрытия для метода построения интервала, а не вероятность того, что μ лежит в одном вычисленном интервале.
- Доверительный интервал имеет структуру
оценка ± критическое значение × стандартная ошибка; чтобы сузить его вдвое, выборку нужно увеличить в 4 раза. - Если σ неизвестно, используют t-распределение. 95% интервал при n=16, x̄=50, s=8 равен
[45.74, 54.26]. - 95% интервал для доли 120/400: Вальд
[0.2551, 0.3449], Уилсон[0.2572, 0.3466]. - При малых выборках и крайних долях (например, 2/20) интервал Вальда неточен — вплоть до отрицательной нижней границы, — поэтому рекомендуется интервал Уилсона.