Корреляция и регрессия: r Пирсона, ρ Спирмена и интерпретация наклона

Когда нужно выяснить, меняются ли две переменные согласованно, первыми инструментами служат корреляционный и регрессионный анализ. Вычисления у них во многом совпадают, но вопросы они задают разные. Корреляция спрашивает: «насколько сильно две переменные меняются вместе?», а регрессия — «насколько в среднем меняется y при изменении x на одну единицу?».

Коэффициент корреляции Пирсона r

r Пирсона выражает силу и направление линейной связи двух непрерывных переменных числом от −1 до 1.

• r = Sxy / √(Sxx × Syy)
• Sxy = Σ(x−x̄)(y−ȳ), Sxx = Σ(x−x̄)², Syy = Σ(y−ȳ)²

r, близкий к 1, означает сильную положительную линейную связь, близкий к −1 — сильную отрицательную линейную связь, близкий к 0 — слабую линейную связь. Критерии силы в разных областях различаются, но часто используется договорённость считать абсолютные значения 0.1·0.3·0.5 слабой·умеренной·сильной связью.

То, что r близок к 0, не означает отсутствия связи. Даже у явной криволинейной связи, такой как y = x², r может быть около 0. Поэтому перед вычислением коэффициента корреляции всегда сначала смотрят на диаграмму рассеяния.

Ранговая корреляция Спирмена ρ

ρ Спирмена — это r Пирсона, вычисленный не по исходным значениям, а по рангам. При отсутствии связанных рангов она совпадает со следующей простой формулой.

• ρ = 1 − 6Σd² / (n(n²−1)) (d — разность рангов в каждой паре)

ρ Спирмена улавливает не только прямолинейную, но и монотонную связь — устойчивый рост или спад в одном направлении — и меньше подвержена влиянию выбросов. Её можно применять и к порядковым данным (рейтинги удовлетворённости и т. п.).

Пример: время подготовки и баллы

Время подготовки (x, часы) и баллы (y) шести учеников.

Шаг 1: средние

x̄ = 21 / 6 = 3.5, ȳ = 370 / 6 ≈ 61.667

Шаг 2: суммы квадратов и сумма перекрёстных произведений

• Sxy = 24.167 + 10.000 + 0.333 − 0.833 + 9.500 + 30.833 = 74
• Sxx = 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 = 17.5
• Syy ≈ 333.333

Шаг 3: r Пирсона

r = 74 / √(17.5 × 333.333) = 74 / √5833.33 ≈ 74 / 76.376 ≈ 0.9689

Это очень сильная положительная линейная связь. Двустороннее p-значение для проверки этого r (нулевая гипотеза ρ=0, 4 степени свободы) — около 0.0014.

Шаг 4: ρ Спирмена

Ранги x — это просто 1~6, а ранги y — 1, 2, 4, 3, 5, 6 (60 меньше 61, поэтому ранги учеников 3 и 4 меняются местами). Разности рангов d равны 0, 0, −1, 1, 0, 0, и Σd² = 2.

ρ = 1 − 6 × 2 / (6 × (36 − 1)) = 1 − 12 / 210 ≈ 0.9429

Шаг 5: линия регрессии

• Наклон: b = Sxy / Sxx = 74 / 17.5 ≈ 4.2286
• Свободный член: a = ȳ − b × x̄ = 61.667 − 4.2286 × 3.5 ≈ 46.867
• Уравнение регрессии: ŷ ≈ 46.867 + 4.2286x

Интерпретация наклона и r²

• Наклон 4.2286: ученику, занимавшемуся на 1 час больше, в среднем предсказывается балл примерно на 4.23 выше. Наклон — величина с единицами измерения (баллы/час), поэтому при смене единиц x или y он меняется. r же безразмерен.
• Свободный член 46.867: предсказанное значение при x=0. Здесь это случай, когда ученик вообще не занимался, но в данных нет x=0, так что это экстраполяция за пределы наблюдаемого диапазона, и интерпретировать её нужно осторожно.
• Коэффициент детерминации r² ≈ 0.9387: около 93.9% общей вариации баллов объясняется линейной связью со временем подготовки. В простой регрессии r² равен квадрату r Пирсона.

Знаки наклона и r всегда совпадают, и между ними есть соотношение b = r × (s_y / s_x). То есть при одинаковом r наклон тем больше, чем больше разброс y.

Влияние выбросов

Добавим к данным ещё одного ученика: он занимался 7 часов, но получил 30 баллов (допустим, в день экзамена он плохо себя чувствовал).

Одна точка изменила даже знак r Пирсона. r Пирсона использует средние и квадраты отклонений, поэтому одна точка, экстремальная и по x, и по y, может определить весь результат. ρ Спирмена тоже изменилась, но, поскольку она работает с рангами, изменение сравнительно меньше. Поэтому рекомендуется следующий порядок.

1. Сначала по диаграмме рассеяния проверьте наличие выбросов и криволинейной связи.
2. Выясните, является ли выброс ошибкой ввода или реальным значением.
3. Если это реальное значение, приведите результаты и с выбросом, и без него либо дополнительно укажите ρ Спирмена.

Корреляция — не причинность

Даже при сильной корреляции нельзя утверждать, что x — причина y. Типичные причины таковы.

• Третья переменная (конфаундер): продажи мороженого и несчастные случаи на воде растут вместе, но причина у обоих — температура воздуха.
• Обратная причинность: по одной корреляции нельзя различить, здоровы ли люди потому, что много двигаются, или больше двигаются здоровые люди.
• Случайность: если перебрать много пар переменных, сильная корреляция случайно появится даже между никак не связанными переменными.
• Смещение отбора: если в выборку попадают только люди, удовлетворяющие определённому условию, может возникнуть несуществующая корреляция или исчезнуть существующая.

Чтобы утверждать причинность, нужен эксперимент со случайным распределением или план исследования, систематически контролирующий конфаундеры. Наклон в регрессионном анализе тоже безопаснее интерпретировать не как «если изменить x, изменится y», а как «у объектов с разным x значение y в среднем различается на столько-то».

Что использовать

Если вставить пары x, y в калькулятор корреляции и регрессии на этом сайте, вы сразу получите r Пирсона, ρ Спирмена, уравнение регрессии и r².

Главное

• r Пирсона показывает силу линейной связи, ρ Спирмена — силу монотонной связи на основе рангов.
• В примере из 6 пар r ≈ 0.9689, ρ ≈ 0.9429, уравнение регрессии ŷ ≈ 46.867 + 4.2286x, r² ≈ 0.9387.
• Наклон — среднее изменение y на единицу x (имеет единицы измерения), r² — доля вариации y, объясняемая линейной связью.
• Одна точка-выброс может изменить r Пирсона с 0.9689 до −0.1149, поэтому сначала смотрите на диаграмму рассеяния.
• Корреляция и наклон регрессии не доказывают причинность.

→ Рассчитать сейчас: Корреляция

Обновлено 2026-09-23