الارتباط مقابل الانحدار: r لبيرسون وρ لسبيرمان وتفسير الميل

الارتباط والانحدار أول الأدوات التي تلجأ إليها حين تريد أن تعرف هل يتحرك متغيران معًا. تتداخل حساباتهما كثيرًا، لكنهما يطرحان سؤالين مختلفين. الارتباط يسأل: «ما مدى قوة تحرك المتغيرين معًا؟» والانحدار يسأل: «حين تتغير x بوحدة واحدة، كم تتغير y في المتوسط؟»

معامل ارتباط بيرسون r

يعبّر معامل بيرسون r عن قوة واتجاه العلاقة الخطية بين متغيرين متصلين، على مقياس من −1 إلى 1.

• r = Sxy / √(Sxx × Syy)
• Sxy = Σ(x−x̄)(y−ȳ)، Sxx = Σ(x−x̄)²، Syy = Σ(y−ȳ)²

قيمة r القريبة من 1 تعني علاقة خطية موجبة قوية، والقريبة من −1 تعني علاقة سالبة قوية، والقريبة من 0 تعني علاقة خطية ضعيفة. وتختلف معايير القوة بين المجالات، لكن القيم المطلقة 0.1 و0.3 و0.5 تُستخدم كثيرًا للدلالة على الضعيفة والمتوسطة والقوية.

قيمة r القريبة من 0 لا تعني انعدام العلاقة. فمنحنى واضح مثل y = x² قد يكون له r قريب من 0. ولهذا ينبغي أن تنظر دائمًا إلى مخطط الانتشار قبل حساب الارتباط.

معامل سبيرمان لارتباط الرتب ρ

معامل سبيرمان ρ هو معامل بيرسون r محسوبًا على الرتب بدلًا من القيم الخام. وعند عدم وجود رتب متساوية، يساوي هذه الصيغة البسيطة:

• ρ = 1 − 6Σd² / (n(n²−1)) (حيث d هو فرق الرتبتين في كل زوج)

يلتقط معامل سبيرمان ρ العلاقات الرتيبة، أي التي تتزايد أو تتناقص باستمرار حتى لو لم تكن على خط مستقيم، ويتأثر بالقيم الشاذة أقل. كما يصلح للبيانات الترتيبية مثل ترتيب مستويات الرضا.

مثال: ساعات الدراسة والدرجات

ساعات الدراسة (x) والدرجات (y) لستة طلاب:

الخطوة 1: الأوساط

x̄ = 21 / 6 = 3.5، ȳ = 370 / 6 ≈ 61.667

الخطوة 2: مجاميع المربعات وحاصل الضرب التقاطعي

• Sxy = 24.167 + 10.000 + 0.333 − 0.833 + 9.500 + 30.833 = 74
• Sxx = 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 = 17.5
• Syy ≈ 333.333

الخطوة 3: معامل بيرسون r

r = 74 / √(17.5 × 333.333) = 74 / √5833.33 ≈ 74 / 76.376 ≈ 0.9689

علاقة خطية موجبة قوية جدًا. واختبار هذا المعامل (الفرضية الصفرية ρ = 0، و4 درجات حرية) يعطي قيمة p ثنائية الطرف قدرها نحو 0.0014.

الخطوة 4: معامل سبيرمان ρ

رتب x هي ببساطة من 1 إلى 6، ورتب y هي 1, 2, 4, 3, 5, 6 (60 أقل من 61، فيتبادل الطالبان 3 و4 رتبتيهما). وفروق الرتب d هي 0, 0, −1, 1, 0, 0، فيكون Σd² = 2.

ρ = 1 − 6 × 2 / (6 × (36 − 1)) = 1 − 12 / 210 ≈ 0.9429

الخطوة 5: خط الانحدار

• الميل: b = Sxy / Sxx = 74 / 17.5 ≈ 4.2286
• المقطع: a = ȳ − b × x̄ = 61.667 − 4.2286 × 3.5 ≈ 46.867
• المعادلة: ŷ ≈ 46.867 + 4.2286x

قراءة الميل وr²

• الميل 4.2286: يُتوقع أن يحصل الطالب الذي درس ساعة إضافية على نحو 4.23 درجة أعلى في المتوسط. وللميل وحدات (درجات لكل ساعة)، لذا يتغير بتغيير وحدات x أو y، أما r فلا وحدات له.
• المقطع 46.867: القيمة المتوقعة عند x = 0، أي دون أي دراسة. ولا تتضمن البيانات x = 0، لذا فهذا استقراء خارج المدى المشاهد وينبغي قراءته بحذر.
• معامل التحديد r² ≈ 0.9387: نحو 93.9% من التباين الكلي في الدرجات يفسّره الارتباط الخطي بساعات الدراسة. وفي الانحدار البسيط، يساوي r² مربع معامل بيرسون r.

للميل وr الإشارة نفسها دائمًا، وb = r × (s_y / s_x). فمع قيمة r نفسها، يعني تشتت أكبر في y ميلًا أشد انحدارًا.

أثر القيمة الشاذة

أضف طالبًا آخر إلى البيانات: درس 7 ساعات لكنه حصل على 30 درجة (لنقل إنه كان مريضًا يوم الاختبار).

نقطة واحدة قلبت حتى إشارة معامل بيرسون r. فلأن معامل بيرسون يستخدم الأوساط ومربعات الانحرافات، يمكن لنقطة واحدة متطرفة في x وy معًا أن تهيمن عليه. وتأثر معامل سبيرمان ρ أيضًا، لكن بدرجة أقل لأنه يستخدم الرتب. وهذا يشير إلى الترتيب التالي:

1. افحص مخطط الانتشار أولًا بحثًا عن القيم الشاذة والانحناء.
2. تبيّن هل القيمة الشاذة خطأ في إدخال البيانات أم قيمة حقيقية.
3. إن كانت حقيقية، فاعرض النتائج مع استبعادها ومع إدراجها، أو قدّم معامل سبيرمان ρ إلى جانبها.

الارتباط ليس سببية

حتى الارتباط القوي لا يثبت أن x تسبب y. ومن الأسباب الشائعة:

• متغير ثالث (متغير مُربِك): تزداد مبيعات المثلجات وحوادث السباحة معًا، لكن كلتيهما تتأثر بدرجة الحرارة.
• السببية العكسية: لا يستطيع الارتباط وحده أن يحدد هل النشطون أصحاء أم أن الأصحاء أكثر نشاطًا.
• الصدفة: إذا فحصت أزواجًا كافية من المتغيرات، فستظهر ارتباطات قوية بين متغيرات لا علاقة بينها.
• تحيز الاختيار: إذا لم يدخل العينة إلا من يستوفون شروطًا معينة، فقد تظهر ارتباطات أو تختفي.

يحتاج الادعاء السببي إلى تجربة عشوائية أو تصميم دراسة يضبط المتغيرات المربكة بصورة منهجية. وبالمثل، فالأسلم أن يُقرأ ميل الانحدار لا على أنه «تغيير x يغيّر y»، بل على أنه «بين الأفراد الذين تختلف قيمة x لديهم بوحدة واحدة، تختلف y بهذا المقدار في المتوسط».

أيهما تستخدم

الصق أزواج x وy في حاسبة الارتباط والانحدار في هذا الموقع لتحصل على معامل بيرسون r ومعامل سبيرمان ρ ومعادلة الانحدار وr² دفعة واحدة.

خلاصة

• يقيس معامل بيرسون r قوة العلاقة الخطية، ويقيس معامل سبيرمان ρ العلاقة الرتيبة القائمة على الرتب.
• في مثال الأزواج الستة، r ≈ 0.9689 وρ ≈ 0.9429، وخط الانحدار ŷ ≈ 46.867 + 4.2286x، وr² ≈ 0.9387.
• الميل هو متوسط التغير في y لكل وحدة من x (وله وحدات)، وr² هو نسبة التباين في y التي تفسّرها العلاقة الخطية.
• يمكن لقيمة شاذة واحدة أن تحرك معامل بيرسون r من 0.9689 إلى −0.1149، لذا انظر إلى مخطط الانتشار أولًا.
• لا الارتباط ولا ميل الانحدار يثبت السببية.

→ احسب الآن: الارتباط

آخر تحديث 2026-09-23