التوزيع الطبيعي توزيع متماثل على شكل جرس يتمركز حول وسطه الحسابي. القيم الناتجة عن تراكم عوامل صغيرة كثيرة، مثل الطول وأخطاء القياس وكثير من درجات الاختبارات، كثيرًا ما تبدو قريبة من التوزيع الطبيعي. إضافة إلى ذلك، يقترب وسط العينة من التوزيع الطبيعي في العينات الكبيرة أيًّا كان التوزيع الأصلي (مبرهنة النهاية المركزية)، ولهذا بُني كثير من فترات الثقة والاختبارات على التوزيع الطبيعي.
عددان يحددانه
يتحدد التوزيع الطبيعي تمامًا بـ الوسط μ والانحراف المعياري σ، ويُكتب N(μ, σ²) (الموضع الثاني هو التباين).
- تحدد μ مركز الجرس.
- وتحدد σ عرضه. فكلما كبرت σ صار الجرس أخفض وأعرض، وكلما صغرت صار أعلى وأضيق.
- الوسط الحسابي والوسيط والمنوال جميعها تساوي μ.
- المساحة الكلية تحت المنحنى تساوي 1، والمساحة فوق أي فترة هي احتمال الوقوع فيها.
الدرجة المعيارية z: توحيد المقاييس المختلفة
تبيّن الدرجة المعيارية z عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها القيمة عن الوسط.
z = (x − μ) / σ
يحوّل التحويل إلى درجات z أي توزيع طبيعي إلى التوزيع الطبيعي المعياري N(0, 1)، الذي وسطه 0 وانحرافه المعياري 1. ولهذا يكفي جدول واحد، أو حاسبة واحدة، لإيجاد الاحتمالات لكل توزيع طبيعي. ولا وحدات لدرجات z، لذا تتيح أيضًا مقارنة نتائج على مقاييس مختلفة. فالدرجة 85 في اختبار وسطه 70 وانحرافه المعياري 10 (z = 1.5) أفضل نسبيًا من الدرجة 80 في اختبار وسطه 60 وانحرافه المعياري 20 (z = 1.0).
قاعدة 68–95–99.7
الفترات المقيسة بالانحرافات المعيارية تحتوي دائمًا على النسبة نفسها من التوزيع الطبيعي.
| الفترة | النسبة داخلها (بدقة) | النسبة خارجها |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | نحو 68.27% | نحو 31.73% |
| μ ± 2σ | نحو 95.45% | نحو 4.55% |
| μ ± 3σ | نحو 99.73% | نحو 0.27% |
القاعدة اختصار ذهني. أما الفترة التي تحتوي 95% بالضبط فهي ±1.96σ لا ±2σ، ومن هنا يأتي العدد 1.96 في فترات الثقة. وبالمثل، 90% تقابل ±1.645σ و99% تقابل ±2.576σ.
قراءة الاحتمالات التراكمية
الكمية الأساسية في حسابات التوزيع الطبيعي هي الاحتمال التراكمي P(X ≤ x)، أي احتمال أن تكون القيمة عند x أو أقل منها. ويُكتب للتوزيع الطبيعي المعياري Φ(z). وكل احتمال آخر يُبنى منه.
- عند x أو أكثر:
P(X ≥ x) = 1 − Φ(z) - بين a وb:
P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) − Φ(z_a) - التماثل:
Φ(−z) = 1 − Φ(z)
في التوزيع المتصل يكون احتمال النقطة المفردة 0، فلا يغيّر استخدام ≤ بدل < النتيجة.
المثال 1: احتمال الحصول على درجة أقل من قيمة ما
لنفترض أن درجات اختبار تتبع توزيعًا طبيعيًا وسطه 70 وانحرافه المعياري 10.
احتمال الحصول على 85 أو أقل
- الدرجة المعيارية:
z = (85 − 70) / 10 = 1.5 - الاحتمال التراكمي:
Φ(1.5) ≈ 0.9332 - التفسير: نحو 93.32% من المتقدمين يحصلون على 85 أو أقل، أي أن 85 تقع ضمن أعلى 6.68% تقريبًا.
احتمال الحصول على درجة بين 60 و85
- الدرجة المعيارية لـ 60:
(60 − 70) / 10 = −1.0→Φ(−1.0) ≈ 0.1587 - الدرجة المعيارية لـ 85:
1.5→Φ(1.5) ≈ 0.9332 - الفرق:
0.9332 − 0.1587 ≈ 0.7745 - التفسير: نحو 77.45% من المتقدمين يحصلون على درجة بين 60 و85.
احتمال الحصول على 55 أو أقل
الدرجة المعيارية −1.5، وبالتماثل Φ(−1.5) = 1 − 0.9332 ≈ 0.0668، وهو بالضبط احتمال الحصول على 85 أو أكثر.
المثال 2: الرجوع من نسبة أعلى x% إلى الدرجة الفاصلة
لننتقل الآن في الاتجاه المعاكس، من الاحتمال إلى الدرجة. السؤال «ما الدرجة التي تضعك ضمن أعلى 10%؟» يطلب الدرجة التي احتمالها التراكمي 0.90.
- أوجد قيمة z التي احتمالها التراكمي 0.90:
z = Φ⁻¹(0.90) ≈ 1.2816 - أعدها إلى المقياس الأصلي:
x = μ + z × σ = 70 + 1.2816 × 10 ≈ 82.82 - التفسير: الدرجة 82.82 تقريبًا فما فوق تقع ضمن أعلى 10%.
وبالطريقة نفسها، يستخدم حد أعلى 5% القيمة z ≈ 1.6449، فتكون الدرجة 70 + 16.449 ≈ 86.45. أما لحد أدنى x%، فاستخدم الاحتمال التراكمي x مباشرة.
| الحد | الاحتمال التراكمي | z | الدرجة (μ=70, σ=10) |
|---|---|---|---|
| أعلى 25% | 0.75 | نحو 0.6745 | نحو 76.74 |
| أعلى 10% | 0.90 | نحو 1.2816 | نحو 82.82 |
| أعلى 5% | 0.95 | نحو 1.6449 | نحو 86.45 |
| أعلى 1% | 0.99 | نحو 2.3263 | نحو 93.26 |
المثال 3: التطبيق على وسط العينة
تصلح حسابات التوزيع الطبيعي أيضًا لـ أوساط العينات، لا للدرجات المفردة فقط. في الاختبار نفسه (الوسط 70، والانحراف المعياري 10)، اختر 25 طالبًا عشوائيًا. ما احتمال أن يكون متوسطهم 74 أو أكثر؟
- الانحراف المعياري لوسط العينة (الخطأ المعياري):
σ / √n = 10 / √25 = 2 - الدرجة المعيارية:
z = (74 − 70) / 2 = 2.0 - الاحتمال:
1 − Φ(2.0) ≈ 0.0228
حصول طالب واحد على 74 أو أكثر أمر شائع، 1 − Φ(0.4) ≈ 0.3446، أما أن يبلغ متوسط 25 طالبًا 74 أو أكثر فلا يحدث إلا في نحو 2.28% من المرات. فالمتوسطات تتفاوت أقل بكثير من القيم المفردة، وهذه نقطة الانطلاق لفترات الثقة واختبارات الفرضيات.
تنبيهات
- تحقق من افتراض التوزيع الطبيعي. تطبيق نموذج طبيعي على بيانات ملتوية نحو اليمين مثل الدخل أو وقت الانتظار يُخطئ كثيرًا في احتمالات الأطراف. انظر إلى المدرج التكراري أو مخطط Q-Q أولًا.
- البيانات المحدودة (مثل اختبار من 0 إلى 100) قد تنحرف عن التوزيع الطبيعي قرب الأطراف. كن حذرًا بوجه خاص عند الرجوع إلى حدود متطرفة مثل أعلى 1%.
- افصل بين المعالم والتقديرات. إذا قُدّرت μ وσ من عينة، فالنتائج تحمل خطأ ذلك التقدير أيضًا.
أدخل الوسط والانحراف المعياري في حاسبة التوزيع الطبيعي في هذا الموقع لتحصل فورًا على الاحتمالات التراكمية واحتمالات الفترات والقيم العكسية.
خلاصة
- يتحدد التوزيع الطبيعي بـ μ وσ، والصيغة
z = (x − μ) / σتحوّله إلى التوزيع الطبيعي المعياري. - يقع نحو 68.27% و95.45% و99.73% ضمن μ ± 1σ و2σ و3σ، والفترة الدقيقة لـ 95% هي ±1.96σ.
- مع وسط 70 وانحراف معياري 10، يكون P(الدرجة ≤ 85) ≈ 0.9332 وP(60 ≤ الدرجة ≤ 85) ≈ 0.7745.
- الخطأ المعياري لمتوسط 25 طالبًا هو
10 / √25 = 2، وP(المتوسط ≥ 74) ≈ 0.0228. - يأتي حد أعلى 10% من الاحتمال التراكمي العكسي:
70 + 1.2816 × 10 ≈ 82.82. - لا تطبّق النموذج الطبيعي تلقائيًا على البيانات الملتوية.