الربيعيات هي نقاط القطع التي تقسم البيانات المرتبة إلى أربعة أجزاء متساوية. يحدد الربيع الأول Q1 أدنى 25%، والربيع الثاني Q2 هو الوسيط، ويحدد الربيع الثالث Q3 نسبة 75%. الفكرة بسيطة، لكن حساب الربيعيات للبيانات نفسها في Excel وR وكتاب مدرسي كثيرًا ما يعطي قيمًا مختلفة لـ Q1 وQ3. ولا يوجد بينها ما هو خاطئ؛ كل ما في الأمر أن هناك اصطلاحات عدة لتحديد موضع النقطة الواقعة بين قيمتين من البيانات.
لماذا توجد طرق عدة؟
مع 10 قيم، لا تقع «نقطة الـ 25%» تمامًا على مشاهدة واحدة. يمكنك أن تعدّها القيمة رقم 2.5 تقريبًا أو القيمة رقم 3.25. وتسرد لغة R تسعة تعريفات (الأنواع من 1 إلى 9)، ثلاثة منها واسعة الاستخدام.
| الطريقة | صيغة الموضع (القيمة رقم k بعد الترتيب) | أين تصادفها |
|---|---|---|
| النوع 7 في R | k = (n−1)p + 1 | الدالتان QUARTILE.INC وPERCENTILE.INC في Excel، والافتراضي في R وNumPy |
| النوع 6 في R | k = (n+1)p | الدالتان QUARTILE.EXC وPERCENTILE.EXC في Excel، وبعض الكتب المدرسية، وMinitab |
| مفصّلات توكي | تقسيم البيانات عند الوسيط ثم أخذ وسيط كل نصف | تحليل البيانات الاستكشافي، وكتب مخطط الصندوق، والدالة fivenum() في R |
إذا لم يكن الموضع k عددًا صحيحًا، تُحسب القيمة بالاستيفاء الخطي بين القيمتين المجاورتين. فعند k = 3.25 نأخذ القيمة الثالثة ونضيف إليها 0.25 × (القيمة الرابعة − القيمة الثالثة). وفي تعريف توكي الأصلي، عندما تكون n فردية يُدرج الوسيط في كلا النصفين.
بيانات واحدة وربيعيات مختلفة
إليك 10 قيم مرتبة:
2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 25
الوسيط هو متوسط القيمتين الخامسة والسادسة، (8+10)/2 = 9، في الطرق الثلاث جميعًا. وتظهر الاختلافات في Q1 وQ3.
النوع 7 (QUARTILE.INC في Excel)
- موضع Q1:
(10−1)×0.25 + 1 = 3.25→5 + 0.25×(7−5) = 5.5 - موضع Q3:
(10−1)×0.75 + 1 = 7.75→12 + 0.75×(13−12) = 12.75
النوع 6 (QUARTILE.EXC في Excel)
- موضع Q1:
(10+1)×0.25 = 2.75→4 + 0.75×(5−4) = 4.75 - موضع Q3:
(10+1)×0.75 = 8.25→13 + 0.25×(15−13) = 13.5
مفصّلات توكي
- وسيط النصف الأدنى
2, 4, 5, 7, 8→5 - وسيط النصف الأعلى
10, 12, 13, 15, 25→13
| الطريقة | Q1 | Q3 | IQR |
|---|---|---|---|
| النوع 7 (INC) | 5.5 | 12.75 | 7.25 |
| النوع 6 (EXC) | 4.75 | 13.5 | 8.75 |
| مفصّلات توكي | 5 | 13 | 8 |
يميل النوع 6 إلى إعطاء قيم أبعد قليلًا نحو الأطراف، والنوع 7 إلى قيم منجذبة نحو الداخل، بينما تقع مفصّلات توكي غالبًا بينهما. ومع مئات المشاهدات تكاد الفروق تختفي، لكن مع بضع عشرات أو أقل قد تغيّر استنتاجاتك.
المدى الربيعي وحدود 1.5×IQR
المدى الربيعي IQR = Q3 − Q1 هو عرض النصف الأوسط من البيانات. يتأثر الوسط الحسابي والانحراف المعياري بشدة بالقيم المتطرفة، أما المدى الربيعي فلا ينظر إلا إلى النصف الأوسط، ولذلك فهو مقياس متين.
قاعدة توكي للقيم الشاذة هي:
- الحد الأدنى:
Q1 − 1.5 × IQR - الحد الأعلى:
Q3 + 1.5 × IQR - القيم الواقعة خارج الحدين تُعلَّم بوصفها قيمًا شاذة محتملة. وتُسمّى القيم الواقعة خارج
3 × IQRأحيانًا قيمًا شاذة متطرفة.
لنطبّقها على القيمة العظمى 25:
| الطريقة | الحد الأدنى | الحد الأعلى | هل 25 قيمة شاذة؟ |
|---|---|---|---|
| النوع 7 | 5.5 − 1.5×7.25 = −5.375 | 12.75 + 1.5×7.25 = 23.625 | نعم (أكبر من 23.625) |
| النوع 6 | 4.75 − 1.5×8.75 = −8.375 | 13.5 + 1.5×8.75 = 26.625 | لا |
| مفصّلات توكي | 5 − 1.5×8 = −7 | 13 + 1.5×8 = 25 | على الحد تمامًا (ليست خارجه) |
القيمة نفسها، 25، تكون قيمة شاذة أو لا تكون بحسب الطريقة. ولهذا ينبغي أن يذكر التقرير تعريف الربيعيات المستخدم، ولهذا أيضًا يُستحسن التعامل مع قاعدة 1.5×IQR بوصفها وسيلة لاختيار قيم تستحق المراجعة لا قيم تُحذف.
كيف تقرأ مخطط الصندوق
يرسم مخطط الصندوق الربيعيات في صورة.
- الصندوق: حافته السفلى Q1 وحافته العليا Q3، وارتفاعه يساوي المدى الربيعي.
- الخط داخل الصندوق: الوسيط. إذا كان قريبًا من إحدى الحافتين فالتوزيع ملتوٍ.
- الشعيرات: تمتد إلى أبعد نقطة بيانات ما زالت داخل الحدين، لا إلى قيم الحدين نفسيهما.
- النقاط: النقاط المفردة خارج الشعيرات قيم شاذة محتملة.
إذا كانت الشعيرة العليا أطول من السفلى ووُجدت نقاط في الأعلى، فاشتبه في توزيع ملتوٍ نحو اليمين. وهذا الشكل شائع في البيانات التي لا يمكن أن تنزل عن الصفر، مثل الدخل ومدة البقاء في الصفحة ووقت الانتظار.
نصائح عملية
- إذا كنت تحتاج إلى مطابقة أداة أخرى، فتحقق أولًا من التعريف الذي تستخدمه. وعند المقارنة مع مستخدمي Excel، يكون النوع 7 (INC) هو الخيار الأضمن.
- افحص القيمة الشاذة قبل أن تقرر ما تفعله بها. صحّحها إن كانت خطأ في إدخال البيانات (وحدة خاطئة، أو رقم زائد). وإن كانت قيمة متطرفة حقيقية، فأبقها واعرض إلى جانب الوسط الحسابي إحصاءات متينة مثل الوسيط والمدى الربيعي.
- للمئينات المشكلة نفسها. أي مئين، كالمئين التسعين، يتوقف بالطريقة نفسها على اختيار صيغة الموضع.
- مع العينات الصغيرة تكون الربيعيات نفسها غير مستقرة. فمع نحو 10 قيم، كثيرًا ما يكون عرض كل نقطة من البيانات الخام أكثر إفادة من الربيعيات.
في حاسبة الإحصاء الوصفي في هذا الموقع يمكنك تبديل طريقة حساب الربيعيات على البيانات نفسها ومقارنة Q1 وQ3 والمدى الربيعي وحدود القيم الشاذة.
خلاصة
- لا يوجد تعريف معياري واحد للربيعيات. الدالة
QUARTILE.INCفي Excel تطابق النوع 7 في R، وQUARTILE.EXCتطابق النوع 6. - بالنسبة إلى
2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 25، تكون Q1 وQ3 هما 5.5 و12.75 (النوع 7)، و4.75 و13.5 (النوع 6)، و5 و13 (مفصّلات توكي). - حدود القيم الشاذة هي
Q1 − 1.5×IQRوQ3 + 1.5×IQR، وقد تُعلَّم القيمة نفسها شاذة أو لا بحسب الطريقة. - تمتد شعيرات مخطط الصندوق إلى أبعد نقطة بيانات داخل الحدين.
- اذكر تعريف الربيعيات الذي استخدمته، وتعامل مع القيم الشاذة على أنها أمر يُراجَع لا شيء يُحذف.