Un intervalo de confianza es una forma de comunicar no solo una estimación puntual, sino también su incertidumbre: "el valor verdadero debería estar en este rango". El "margen de error de ±3 puntos porcentuales" de una encuesta también es una forma de intervalo de confianza. Sin embargo, la expresión "intervalo de confianza del 95 %" se interpreta mal con frecuencia. En este artículo aclaramos primero su significado exacto y después calculamos con ejemplos intervalos de confianza para medias y proporciones.
¿El 95 % de qué?
La media poblacional μ es desconocida, pero es un valor fijo. En cambio, el intervalo de confianza es un intervalo aleatorio que cambia con cada muestra. Por tanto, la probabilidad del 95 % se refiere al método con el que se construye el intervalo.
Si se extrajeran muestras repetidamente de la misma forma y se construyera cada vez un intervalo de confianza, aproximadamente el 95 % de esos intervalos contendría el valor verdadero.
Decir de un intervalo ya calculado, por ejemplo [45.74, 54.26], que "hay un 95 % de probabilidad de que μ esté dentro" es, en sentido estricto, incorrecto. Ese intervalo contiene a μ o no la contiene; simplemente no sabemos cuál de las dos cosas ocurre. En la práctica se usan expresiones que reflejan la fiabilidad del método, como "con un nivel de confianza del 95 %, se estima que la media poblacional está entre 45.74 y 54.26".
Estos también son malentendidos frecuentes:
- "El 95 % de los datos está en este intervalo": no. El intervalo de confianza se refiere a un parámetro (la media, por ejemplo), y el rango de los datos individuales es mucho más amplio.
- "La media de la próxima muestra caerá dentro con un 95 % de probabilidad": tampoco. Esa es una cuestión de intervalos de predicción.
Estructura básica de un intervalo de confianza
La mayoría de los intervalos de confianza tienen la misma forma.
estimación ± valor crítico × error estándar
El valor crítico aumenta con el nivel de confianza, y el error estándar disminuye cuando la muestra crece. Por eso, al subir el nivel de confianza el intervalo se ensancha, y al aumentar la muestra se estrecha. Como el error estándar es proporcional a 1/√n, para reducir a la mitad la amplitud del intervalo hay que multiplicar la muestra por 4.
z o t: ¿cuál usar?
En el intervalo de confianza de una media, el valor crítico depende de si se conoce la desviación estándar poblacional σ.
- Se conoce σ (poco frecuente): se usa el valor z de la normal estándar. Para el 95 % es
1.96. - No se conoce σ y se sustituye por la desviación estándar muestral s (lo habitual): se usa el valor t de la distribución t con
n−1grados de libertad.
El valor t es mayor que z porque refleja la incertidumbre adicional de estimar s. Cuanto más pequeña es la muestra, mayor es la diferencia.
| Grados de libertad | Valor crítico t al 95 % |
|---|---|
| 2 | aprox. 4.303 |
| 5 | aprox. 2.571 |
| 10 | aprox. 2.228 |
| 15 | aprox. 2.131 |
| 30 | aprox. 2.042 |
| 100 | aprox. 1.984 |
| Infinito (z) | aprox. 1.960 |
Ejemplo 1: intervalo de confianza para una media
Supongamos una muestra de 16 datos con media x̄ = 50 y desviación estándar muestral s = 8.
- Error estándar:
SE = s / √n = 8 / √16 = 2 - Grados de libertad:
16 − 1 = 15, valor crítico t al 95 %≈ 2.1314 - Margen de error:
2.1314 × 2 ≈ 4.263 - Intervalo de confianza:
50 ± 4.263→[45.74, 54.26]
Si se hace el mismo cálculo con z (1.96), se obtiene 50 ± 3.92 → [46.08, 53.92], un intervalo más estrecho. Usar z sin conocer σ hace que la cobertura real quede por debajo del 95 %, así que con muestras pequeñas hay que usar t.
Ejemplo 2: intervalo de confianza para una proporción (Wald y Wilson)
Hay varias fórmulas para el intervalo de confianza de una proporción p. La que aparece primero en los libros de texto es el intervalo de Wald.
- Wald:
p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n)
Si 120 de 400 personas respondieron "sí", p̂ = 0.30.
- Error estándar:
√(0.30 × 0.70 / 400) ≈ 0.02291 - Margen de error:
1.96 × 0.02291 ≈ 0.0449 - Intervalo de Wald al 95 %:
[0.2551, 0.3449]
El intervalo de Wilson se deriva de usar el valor hipotético en lugar de p̂ dentro del error estándar; su fórmula es algo más compleja, pero tiene mejores propiedades.
- Wilson: centro
(p̂ + z²/(2n)) / (1 + z²/n), semiamplitudz/(1 + z²/n) × √(p̂(1−p̂)/n + z²/(4n²))
Aplicado a los mismos datos da [0.2572, 0.3466], casi igual que Wald. Cuando n es grande y p̂ está lejos de 0 y de 1, ambos métodos dan resultados parecidos.
La diferencia aparece cuando la muestra es pequeña o la proporción está cerca de un extremo. Veamos el caso de 2 de 20 personas (p̂ = 0.10).
| Método | Intervalo al 95 % |
|---|---|
| Wald | [−0.0315, 0.2315] |
| Wilson | [0.0279, 0.3010] |
El límite inferior del intervalo de Wald es negativo, algo que no tiene sentido para una proporción. Además, se sabe que en estas condiciones la cobertura real del intervalo de Wald queda bastante por debajo del 95 % nominal. El intervalo de Wilson no se sale del rango de 0 a 1, su centro se desplaza ligeramente hacia 0.5 y su cobertura se acerca más al valor nominal. Por eso hoy en día se recomienda a menudo el intervalo de Wilson como opción por defecto.
Relación entre intervalos de confianza y pruebas de hipótesis
El intervalo de confianza del 95 % para una media y la prueba t bilateral con nivel de significación 0.05 muestran la misma información de maneras distintas. Si un valor μ₀ queda fuera del intervalo de confianza del 95 %, el valor p bilateral de la hipótesis nula "la media poblacional es μ₀" es menor que 0.05. Por el contrario, si queda dentro del intervalo, el valor p es 0.05 o mayor.
El intervalo del ejemplo 1, [45.74, 54.26], no contiene el 45. De hecho, si se hace una prueba t para una muestra con la hipótesis nula μ₀ = 45, se obtiene t = (50 − 45) / 2 = 2.5 y, con 15 grados de libertad, un valor p bilateral ≈ 0.0245, menor que 0.05. Además, el intervalo de confianza muestra el "rango de valores plausibles", así que aporta más información que un único valor p.
Comprobemos también el efecto del tamaño de muestra. Con los mismos x̄ = 50 y s = 8, pero con 64 datos, el error estándar es 8 / 8 = 1 y el valor crítico t con 63 grados de libertad es aproximadamente 1.998, de modo que el intervalo es 50 ± 2.00 → [48.00, 52.00]. Al multiplicar la muestra por 4, la amplitud pasó de aproximadamente 8.53 a 4.00, menos de la mitad (porque el valor crítico t también disminuyó).
Consejos prácticos
- Indica el nivel de confianza y el método. Escribe, por ejemplo, "IC del 95 % (distribución t)" o "IC del 95 % (Wilson)".
- Que dos intervalos se solapen no implica que no haya diferencia. Lo correcto es calcular directamente el intervalo de confianza de la diferencia entre las dos medias.
- Lo primero es que la muestra sea representativa. El intervalo de confianza solo refleja el error de muestreo aleatorio, no los sesgos de respuesta ni los de selección de la muestra.
En la calculadora de intervalos de confianza de este sitio puedes calcular lado a lado intervalos para medias (z·t) y para proporciones (Wald·Wilson).
Resumen
- El 95 % es la cobertura a largo plazo del método que construye el intervalo, no la probabilidad de que μ esté en un intervalo concreto ya calculado.
- Un intervalo de confianza tiene la estructura
estimación ± valor crítico × error estándar, y para reducir su amplitud a la mitad hay que multiplicar la muestra por 4. - Si no se conoce σ, se usa la distribución t. Con n=16, x̄=50 y s=8, el intervalo al 95 % es
[45.74, 54.26]. - Para la proporción 120/400, el intervalo al 95 % es
[0.2551, 0.3449]con Wald y[0.2572, 0.3466]con Wilson. - Con muestras pequeñas o proporciones extremas (por ejemplo, 2/20), Wald es impreciso e incluso da límites inferiores negativos, por lo que se recomienda Wilson.