La distribución normal es una distribución en forma de campana, simétrica alrededor de la media. Los valores que resultan de sumar muchos factores pequeños, como la estatura, los errores de medición o muchas calificaciones de exámenes, suelen aproximarse a una distribución normal. Además, cuando la muestra es suficientemente grande, la media muestral tiende a una distribución normal sea cual sea la distribución original (teorema central del límite); gracias a ello, buena parte de los intervalos de confianza y de las pruebas de hipótesis se basan en la distribución normal.
Los dos valores que definen la distribución normal
La distribución normal queda completamente determinada por dos valores: la media μ y la desviación estándar σ. Se escribe N(μ, σ²) (el segundo parámetro es la varianza).
- μ fija la posición del centro de la campana.
- σ fija la anchura de la campana. Si σ es grande, la campana es baja y ancha; si es pequeña, alta y estrecha.
- La media, la mediana y la moda coinciden: todas valen μ.
- El área total bajo la curva es 1, y el área de un intervalo es la probabilidad de que un valor caiga en él.
Puntuación z: llevar escalas distintas a una sola
La puntuación z indica a cuántas desviaciones estándar de la media se encuentra un valor.
z = (x − μ) / σ
Al pasar a puntuaciones z, cualquier distribución normal se convierte en la distribución normal estándar N(0, 1), de media 0 y desviación estándar 1. Por eso basta una sola tabla (o una sola calculadora) para obtener probabilidades de cualquier distribución normal. La puntuación z no tiene unidades, lo que la hace útil también para comparar notas de dos exámenes con escalas diferentes. Por ejemplo, 85 puntos en un examen con media 70 y desviación estándar 10 (z=1.5) es un resultado relativamente mejor que 80 puntos en un examen con media 60 y desviación estándar 20 (z=1.0).
La regla 68–95–99.7
Si los intervalos se toman en unidades de desviación estándar, la proporción que queda dentro de una distribución normal es siempre la misma.
| Intervalo | Proporción dentro (valor exacto) | Proporción fuera |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | aprox. 68.27 % | aprox. 31.73 % |
| μ ± 2σ | aprox. 95.45 % | aprox. 4.55 % |
| μ ± 3σ | aprox. 99.73 % | aprox. 0.27 % |
Esta regla es una aproximación para el cálculo mental. El intervalo que contiene exactamente el 95 % no es ±2σ sino ±1.96σ, y de ahí sale el número 1.96 de los intervalos de confianza. Del mismo modo, el 90 % corresponde a ±1.645σ y el 99 % a ±2.576σ.
Cómo leer la probabilidad acumulada
El valor más básico en los cálculos con la distribución normal es la probabilidad acumulada P(X ≤ x), es decir, la probabilidad de obtener un valor menor o igual que x. En la normal estándar se escribe Φ(z). Todas las demás probabilidades se construyen a partir de ella.
- Probabilidad de x o más:
P(X ≥ x) = 1 − Φ(z) - Probabilidad entre a y b:
P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) − Φ(z_a) - Simetría:
Φ(−z) = 1 − Φ(z)
En una distribución continua la probabilidad de un único punto es 0, así que distinguir entre ≤ y < no afecta al resultado.
Ejemplo 1: probabilidad de obtener una puntuación o menos
Supongamos que las puntuaciones de un examen siguen una distribución normal con media 70 y desviación estándar 10.
Probabilidad de obtener 85 puntos o menos
- Puntuación z:
z = (85 − 70) / 10 = 1.5 - Probabilidad acumulada:
Φ(1.5) ≈ 0.9332 - Interpretación: alrededor del 93.32 % de los examinados obtiene 85 puntos o menos. 85 puntos corresponde aproximadamente al 6.68 % superior.
Probabilidad de obtener entre 60 y 85 puntos
- Puntuación z de 60:
(60 − 70) / 10 = −1.0→Φ(−1.0) ≈ 0.1587 - Puntuación z de 85:
1.5→Φ(1.5) ≈ 0.9332 - Diferencia:
0.9332 − 0.1587 ≈ 0.7745 - Interpretación: alrededor del 77.45 % de los examinados se sitúa entre 60 y 85 puntos.
Probabilidad de obtener 55 puntos o menos
La puntuación z es −1.5 y, por simetría, Φ(−1.5) = 1 − 0.9332 ≈ 0.0668. Es exactamente igual a la probabilidad de obtener 85 puntos o más.
Ejemplo 2: calcular a la inversa la puntuación del x % superior
Ahora hacemos lo contrario: obtener la puntuación a partir de una probabilidad. "¿Cuántos puntos hacen falta para estar en el 10 % superior?" equivale a preguntar "¿qué puntuación corresponde a una probabilidad acumulada de 0.90?".
- Buscamos el valor z con probabilidad acumulada 0.90:
z = Φ⁻¹(0.90) ≈ 1.2816 - Volvemos a la escala original:
x = μ + z × σ = 70 + 1.2816 × 10 ≈ 82.82 - Interpretación: con unos 82.82 puntos o más se está en el 10 % superior.
Del mismo modo, para el 5 % superior z ≈ 1.6449, así que se necesitan 70 + 16.449 ≈ 86.45 puntos. Para el x % inferior basta con introducir directamente la probabilidad acumulada x.
| Criterio | Probabilidad acumulada | Valor z | Puntuación (μ=70, σ=10) |
|---|---|---|---|
| 25 % superior | 0.75 | aprox. 0.6745 | aprox. 76.74 |
| 10 % superior | 0.90 | aprox. 1.2816 | aprox. 82.82 |
| 5 % superior | 0.95 | aprox. 1.6449 | aprox. 86.45 |
| 1 % superior | 0.99 | aprox. 2.3263 | aprox. 93.26 |
Ejemplo 3: aplicación a la media muestral
Los cálculos con la distribución normal sirven no solo para puntuaciones individuales, sino también para la media muestral. En el examen con media 70 y desviación estándar 10, elegimos al azar a 25 personas y calculamos la probabilidad de que su puntuación media sea de 74 o más.
- Desviación estándar de la media muestral (error estándar):
σ / √n = 10 / √25 = 2 - Puntuación z:
z = (74 − 70) / 2 = 2.0 - Probabilidad:
1 − Φ(2.0) ≈ 0.0228
Que un estudiante individual obtenga 74 o más es habitual, con probabilidad 1 − Φ(0.4) ≈ 0.3446, pero que la media de 25 personas sea de 74 o más es raro: alrededor del 2.28 %. La media se dispersa mucho menos que los valores individuales. Este es el punto de partida de los intervalos de confianza y de las pruebas de hipótesis.
Precauciones
- Comprueba el supuesto de normalidad. Si aplicas la distribución normal a datos con una cola larga, como los ingresos o los tiempos de espera, las probabilidades en las colas serán muy erróneas. Revisa antes la forma con un histograma o un gráfico Q-Q.
- Datos con límite superior e inferior (exámenes de 0 a 100 puntos, etc.) pueden alejarse de la normal en los extremos. Hay que tener especial cuidado al calcular a la inversa criterios extremos como el 1 % superior.
- Distingue entre parámetros y estimaciones. Si μ y σ se estimaron a partir de una muestra, el resultado es incierto en la medida de ese error de estimación.
Si introduces la media y la desviación estándar en la calculadora de distribución normal de este sitio, obtendrás al instante la probabilidad acumulada, la probabilidad de un intervalo y el valor inverso.
Resumen
- La distribución normal queda definida por la media μ y la desviación estándar σ, y se transforma en la normal estándar con
z = (x − μ) / σ. - Dentro de μ ± 1σ, 2σ y 3σ quedan aproximadamente el 68.27 %, 95.45 % y 99.73 %, respectivamente; el intervalo exacto del 95 % es ±1.96σ.
- Con media 70 y desviación estándar 10, la probabilidad de obtener 85 puntos o menos es aproximadamente 0.9332, y la de quedar entre 60 y 85 puntos, aproximadamente 0.7745.
- El error estándar de la media de 25 personas es
10 / √25 = 2, y la probabilidad de que la media sea de 74 o más es aproximadamente 0.0228. - El criterio del 10 % superior se obtiene con la inversa de la probabilidad acumulada, como
70 + 1.2816 × 10 ≈ 82.82puntos. - No apliques la distribución normal tal cual a datos sesgados hacia un lado.