Los cuartiles son los valores que dividen en cuatro partes iguales un conjunto de datos ordenado. El primer cuartil Q1 marca el 25 % inferior, el segundo cuartil Q2 es la mediana y el tercer cuartil Q3 marca el 75 % inferior. El concepto es sencillo, pero si calculas los cuartiles de los mismos datos con Excel, con R y con un libro de texto, es habitual que Q1 y Q3 no coincidan. No es que la calculadora esté mal: existen varias convenciones sobre cómo fijar la posición entre dos datos.
¿Por qué hay varios métodos?
Con 10 datos, el "punto del 25 % inferior" no cae exactamente sobre un valor. Podría decirse que está hacia el 2.5.º valor, o también hacia el 3.25.º. El software estadístico R recoge 9 definiciones distintas (type 1 a 9), y las tres más usadas son estas:
| Método | Fórmula de posición (k-ésimo valor tras ordenar) | Uso típico |
|---|---|---|
| R type 7 | k = (n−1)p + 1 | Excel QUARTILE.INC·PERCENTILE.INC, valor por defecto de R, valor por defecto de NumPy |
| R type 6 | k = (n+1)p | Excel QUARTILE.EXC·PERCENTILE.EXC, algunos libros de texto·Minitab |
| Bisagras de Tukey | Dividir los datos en dos mitades por la mediana y tomar la mediana de cada mitad | Análisis exploratorio de datos, libros sobre diagramas de caja, R fivenum() |
Si la posición k no es un número entero, se interpola linealmente entre los dos valores vecinos. Por ejemplo, si k = 3.25, se suma al 3.er valor 0.25 veces la diferencia (4.º valor − 3.er valor). En la definición original de las bisagras de Tukey, cuando n es impar la mediana se incluye en ambas mitades.
Mismos datos, distintos cuartiles
Tenemos estos 10 valores ya ordenados:
2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 25
La mediana es la media del 5.º y el 6.º valor, (8+10)/2 = 9, igual en los tres métodos. Las diferencias aparecen en Q1 y Q3.
type 7 (Excel QUARTILE.INC)
- Posición de Q1:
(10−1)×0.25 + 1 = 3.25→5 + 0.25×(7−5) = 5.5 - Posición de Q3:
(10−1)×0.75 + 1 = 7.75→12 + 0.75×(13−12) = 12.75
type 6 (Excel QUARTILE.EXC)
- Posición de Q1:
(10+1)×0.25 = 2.75→4 + 0.75×(5−4) = 4.75 - Posición de Q3:
(10+1)×0.75 = 8.25→13 + 0.25×(15−13) = 13.5
Bisagras de Tukey
- Mediana de la mitad inferior
2, 4, 5, 7, 8→5 - Mediana de la mitad superior
10, 12, 13, 15, 25→13
| Método | Q1 | Q3 | IQR |
|---|---|---|---|
| type 7 (INC) | 5.5 | 12.75 | 7.25 |
| type 6 (EXC) | 4.75 | 13.5 | 8.75 |
| Bisagras de Tukey | 5 | 13 | 8 |
type 6 tiende a dar valores algo más abiertos hacia los extremos, type 7 valores más concentrados hacia el centro, y las bisagras de Tukey suelen quedar en medio. Con cientos de datos o más, las diferencias entre métodos casi desaparecen, pero con unas pocas decenas o menos pueden cambiar incluso la interpretación de los resultados.
El IQR y las vallas de 1.5×IQR
El rango intercuartílico IQR = Q3 − Q1 es la amplitud que ocupa el 50 % central de los datos. La media y la desviación estándar se ven muy afectadas por los valores extremos, pero el IQR solo mira la mitad central y por eso es resistente a ellos.
El criterio de valores atípicos propuesto por Tukey es el siguiente:
- Valla inferior:
Q1 − 1.5 × IQR - Valla superior:
Q3 + 1.5 × IQR - Los valores situados fuera de las vallas se señalan como candidatos a valores atípicos. A veces se distinguen además como atípicos extremos los que están fuera de
3 × IQR.
Apliquémoslo al valor máximo de los datos del ejemplo, 25.
| Método | Valla inferior | Valla superior | ¿Es 25 un valor atípico? |
|---|---|---|---|
| type 7 | 5.5 − 1.5×7.25 = −5.375 | 12.75 + 1.5×7.25 = 23.625 | Sí (supera 23.625) |
| type 6 | 4.75 − 1.5×8.75 = −8.375 | 13.5 + 1.5×8.75 = 26.625 | No |
| Bisagras de Tukey | 5 − 1.5×8 = −7 | 13 + 1.5×8 = 25 | En el límite (no queda fuera) |
Un mismo valor, 25, es atípico o no según el método. Por eso el informe debe indicar qué definición de cuartil se usó, y conviene utilizar el criterio de 1.5×IQR como herramienta para elegir "valores que hay que revisar", no "valores que hay que eliminar".
Cómo leer un diagrama de caja
El diagrama de caja (box plot) representa gráficamente los cuartiles.
- Caja: el lado inferior es Q1 y el superior es Q3. La altura de la caja es el IQR.
- Línea dentro de la caja: es la mediana. Si la línea está desplazada hacia un lado de la caja, la distribución es asimétrica.
- Bigotes (whiskers): se trazan hasta el dato más alejado que esté dentro de las vallas. No se trazan hasta el valor de la valla en sí.
- Puntos: los puntos individuales fuera de los bigotes son los candidatos a valores atípicos.
Si el bigote superior es más largo que el inferior y hay puntos por arriba, se puede sospechar una distribución con cola derecha larga (asimetría positiva). Es la forma habitual de datos que no pueden bajar de 0, como los ingresos, el tiempo de permanencia o el tiempo de espera.
Consejos prácticos
- Si necesitas que tus resultados coincidan con otra herramienta, comprueba primero qué definición usa. Para comparar con usuarios de Excel, type 7 (INC) es la opción más segura.
- Decide sobre los valores atípicos después de averiguar su causa. Si se trata de un error de captura (unidades equivocadas, un dígito de más), corrígelo; si es un valor extremo real, consérvalo e informa también estadísticos robustos como la mediana y el IQR.
- Los percentiles tienen el mismo problema. Percentiles que no son cuartiles, como el límite del 10 % superior (percentil 90), también varían según la fórmula de posición elegida.
- Con muestras pequeñas, los propios cuartiles son inestables. Con unos 10 datos, mostrar todos los datos originales como puntos aporta más información que los cuartiles.
En la calculadora de estadística descriptiva de este sitio puedes cambiar el método de cálculo de los cuartiles con los mismos datos y comparar Q1, Q3, IQR y las vallas de valores atípicos.
Resumen
- No existe una única definición estándar de cuartil:
QUARTILE.INCde Excel corresponde a R type 7 yQUARTILE.EXCa R type 6. - En el ejemplo
2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 25, Q1 y Q3 son 5.5 y 12.75 con type 7, 4.75 y 13.5 con type 6, y 5 y 13 con las bisagras de Tukey. - Las vallas de valores atípicos son
Q1 − 1.5×IQRyQ3 + 1.5×IQR, y un mismo valor puede ser atípico o no según el método. - Los bigotes del diagrama de caja llegan hasta el dato más alejado dentro de las vallas.
- Indica en el informe la definición de cuartil usada y trata los valores atípicos como objeto de revisión, no de eliminación.