Un intervalle de confiance permet de communiquer non seulement une estimation ponctuelle, mais aussi l'incertitude qui l'accompagne : « la vraie valeur se situe probablement dans cette plage ». La « marge d'erreur de ±3 pts » d'un sondage est elle aussi une forme d'intervalle de confiance. Pourtant, l'expression « intervalle de confiance à 95 % » est souvent mal interprétée. Cet article en précise d'abord le sens exact, puis calcule des intervalles de confiance pour une moyenne et pour une proportion à l'aide d'exemples.
95 % de quoi ?
La moyenne de la population μ est inconnue, mais c'est une valeur fixe. L'intervalle de confiance, lui, est un intervalle aléatoire qui change à chaque échantillon. La probabilité de 95 % porte donc sur la méthode de construction de l'intervalle.
Si l'on tirait des échantillons de la même façon et que l'on construisait à chaque fois un intervalle de confiance, environ 95 % des intervalles ainsi obtenus contiendraient la vraie valeur.
Pour un intervalle déjà calculé, par exemple [45.74, 54.26], dire que « μ a 95 % de chances de s'y trouver » est, en toute rigueur, incorrect. Cet intervalle contient μ ou ne le contient pas ; simplement, nous ne savons pas lequel des deux. En pratique, on emploie une formulation qui met en avant la fiabilité de la méthode, par exemple : « au niveau de confiance de 95 %, la moyenne de la population est estimée entre 45.74 et 54.26 ».
Voici d'autres idées fausses courantes.
- « 95 % des données se trouvent dans cet intervalle » : non. L'intervalle de confiance porte sur un paramètre (la moyenne, par exemple), et l'étendue des données individuelles est bien plus large.
- « La moyenne du prochain échantillon tombera dans cet intervalle avec une probabilité de 95 % » : non plus. Cette question relève de l'intervalle de prédiction.
Structure de base d'un intervalle de confiance
La plupart des intervalles de confiance ont la même forme.
estimation ± valeur critique × erreur type
La valeur critique augmente avec le niveau de confiance, et l'erreur type diminue quand l'échantillon grandit. Augmenter le niveau de confiance élargit donc l'intervalle, et augmenter l'échantillon le rétrécit. L'erreur type étant proportionnelle à 1/√n, il faut quadrupler l'échantillon pour diviser par deux la largeur de l'intervalle.
z ou t : lequel utiliser ?
Pour l'intervalle de confiance d'une moyenne, la valeur critique dépend du fait que l'on connaisse ou non l'écart type de la population σ.
- σ est connu (rare) : on utilise la valeur z de la loi normale centrée réduite, soit
1.96à 95 %. - σ est inconnu et remplacé par l'écart type de l'échantillon s (le cas le plus fréquent) : on utilise la valeur t de la loi de Student à
n−1degrés de liberté.
La valeur t est plus grande que z, car elle reflète l'incertitude supplémentaire liée à l'estimation de s. Plus l'échantillon est petit, plus l'écart est grand.
| Degrés de liberté | Valeur critique t à 95 % |
|---|---|
| 2 | environ 4.303 |
| 5 | environ 2.571 |
| 10 | environ 2.228 |
| 15 | environ 2.131 |
| 30 | environ 2.042 |
| 100 | environ 1.984 |
| Infini (z) | environ 1.960 |
Exemple 1 : intervalle de confiance d'une moyenne
Supposons un échantillon de 16 valeurs de moyenne x̄ = 50 et d'écart type s = 8.
- Erreur type :
SE = s / √n = 8 / √16 = 2 - Degrés de liberté :
16 − 1 = 15, valeur critique t à 95 %≈ 2.1314 - Marge d'erreur :
2.1314 × 2 ≈ 4.263 - Intervalle de confiance :
50 ± 4.263→[45.74, 54.26]
Le même calcul avec z (1.96) donne 50 ± 3.92 → [46.08, 53.92], un intervalle plus étroit. Utiliser z alors que σ est inconnu fait tomber le taux de couverture réel sous 95 % ; avec un petit échantillon, il faut donc utiliser t.
Exemple 2 : intervalle de confiance d'une proportion (Wald et Wilson)
Il existe plusieurs formules pour l'intervalle de confiance d'une proportion p. Celle que l'on rencontre en premier dans les manuels est l'intervalle de Wald.
- Wald :
p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n)
Si 120 personnes sur 400 ont répondu « oui », alors p̂ = 0.30.
- Erreur type :
√(0.30 × 0.70 / 400) ≈ 0.02291 - Marge d'erreur :
1.96 × 0.02291 ≈ 0.0449 - Intervalle de Wald à 95 % :
[0.2551, 0.3449]
L'intervalle de Wilson se déduit d'une approche qui utilise la valeur hypothétique au lieu de p̂ dans l'erreur type ; la formule est un peu plus compliquée, mais ses propriétés sont meilleures.
- Wilson : centre
(p̂ + z²/(2n)) / (1 + z²/n), demi-largeurz/(1 + z²/n) × √(p̂(1−p̂)/n + z²/(4n²))
Appliqué aux mêmes données, il donne [0.2572, 0.3466], presque identique à Wald. Quand n est grand et que p̂ est loin de 0 et de 1, les deux méthodes donnent des résultats proches.
La différence apparaît lorsque l'échantillon est petit ou que la proportion est proche des extrêmes. Prenons le cas de 2 personnes sur 20 (p̂ = 0.10).
| Méthode | Intervalle à 95 % |
|---|---|
| Wald | [−0.0315, 0.2315] |
| Wilson | [0.0279, 0.3010] |
La borne inférieure de Wald devient négative, ce qui n'a aucun sens pour une proportion. On sait aussi que, dans ces conditions, le taux de couverture réel de l'intervalle de Wald est nettement inférieur aux 95 % nominaux. L'intervalle de Wilson ne sort jamais de la plage 0 à 1, son centre est légèrement tiré vers 0.5 et son taux de couverture est plus proche de la valeur nominale. C'est pourquoi l'intervalle de Wilson est aujourd'hui souvent recommandé par défaut.
Lien entre intervalle de confiance et test d'hypothèse
L'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne et le test t bilatéral au seuil de 0.05 présentent la même information sous deux formes. Si une valeur μ₀ se trouve en dehors de l'intervalle de confiance à 95 %, la valeur p bilatérale de l'hypothèse nulle « la moyenne de la population vaut μ₀ » est inférieure à 0.05. À l'inverse, si μ₀ est dans l'intervalle, la valeur p est supérieure ou égale à 0.05.
L'intervalle [45.74, 54.26] de l'exemple 1 ne contient pas 45. De fait, un test t à un échantillon de l'hypothèse nulle μ₀ = 45 donne t = (50 − 45) / 2 = 2.5, soit une valeur p bilatérale ≈ 0.0245 avec 15 degrés de liberté, inférieure à 0.05. L'intervalle de confiance montre en plus la « plage des valeurs plausibles » ; il contient donc plus d'information qu'une simple valeur p.
Vérifions aussi l'effet de la taille d'échantillon. Avec les mêmes x̄ = 50 et s = 8 mais 64 valeurs, l'erreur type vaut 8 / 8 = 1 et la valeur critique t à 63 degrés de liberté vaut environ 1.998, d'où l'intervalle 50 ± 2.00 → [48.00, 52.00]. En quadruplant l'échantillon, la largeur passe d'environ 8.53 à 4.00, soit moins de la moitié (parce que la valeur critique t a elle aussi diminué).
Conseils pratiques
- Indiquez le niveau de confiance et la méthode. Par exemple « IC à 95 % (loi t) » ou « IC à 95 % (Wilson) ».
- Ne concluez pas à l'absence de différence parce que deux intervalles se chevauchent. Il est plus rigoureux de calculer directement l'intervalle de confiance de la différence des deux moyennes.
- La représentativité de l'échantillon passe en premier. L'intervalle de confiance ne reflète que l'erreur d'échantillonnage aléatoire, et non les biais de réponse ou de sélection de l'échantillon.
La calculatrice d'intervalle de confiance de ce site permet de calculer côte à côte les intervalles d'une moyenne (z·t) et d'une proportion (Wald·Wilson).
À retenir
- Les 95 % désignent le taux de couverture à long terme de la méthode de construction, et non la probabilité que μ se trouve dans un intervalle déjà calculé.
- Un intervalle de confiance a la structure
estimation ± valeur critique × erreur type, et il faut quadrupler l'échantillon pour diviser sa largeur par deux. - Si σ est inconnu, on utilise la loi t. Pour n=16, x̄=50, s=8, l'intervalle à 95 % est
[45.74, 54.26]. - Pour la proportion 120/400, l'intervalle à 95 % est
[0.2551, 0.3449]avec Wald et[0.2572, 0.3466]avec Wilson. - Avec un petit échantillon ou une proportion extrême (par exemple 2/20), Wald est imprécis, jusqu'à donner une borne inférieure négative : préférez Wilson.