두 변수가 함께 움직이는지 알고 싶을 때 가장 먼저 쓰는 도구가 상관분석과 회귀분석입니다. 둘은 계산 과정이 많이 겹치지만 묻는 질문이 다릅니다. 상관은 "두 변수가 얼마나 강하게 함께 움직이는가"를, 회귀는 "x가 한 단위 변할 때 y가 평균적으로 얼마나 변하는가"를 묻습니다.
피어슨 상관계수 r
피어슨 r은 두 연속 변수의 선형 관계의 강도와 방향을 −1에서 1 사이 값으로 나타냅니다.
r = Sxy / √(Sxx × Syy)Sxy = Σ(x−x̄)(y−ȳ),Sxx = Σ(x−x̄)²,Syy = Σ(y−ȳ)²
r이 1에 가까우면 강한 양의 선형 관계, −1에 가까우면 강한 음의 선형 관계, 0에 가까우면 선형 관계가 약하다는 뜻입니다. 강도의 기준은 분야마다 다르지만, 절댓값 0.1·0.3·0.5를 약함·중간·강함으로 보는 관례가 자주 쓰입니다.
r이 0에 가깝다고 관계가 없는 것은 아닙니다. y = x²처럼 뚜렷한 곡선 관계도 r은 0 근처가 될 수 있습니다. 그래서 상관계수를 계산하기 전에 항상 산점도를 먼저 봅니다.
스피어만 순위상관 ρ
스피어만 ρ는 원래 값 대신 순위로 바꾼 뒤 피어슨 r을 계산한 것입니다. 동순위가 없을 때는 다음 간단한 공식과 같습니다.
ρ = 1 − 6Σd² / (n(n²−1))(d는 각 쌍의 순위 차이)
스피어만 ρ는 직선이 아니어도 한 방향으로 꾸준히 증가하거나 감소하는(단조) 관계를 잡아내고, 이상치의 영향을 덜 받습니다. 순서형 데이터(만족도 순위 등)에도 쓸 수 있습니다.
예제: 공부 시간과 점수
학생 6명의 공부 시간(x, 시간)과 점수(y)입니다.
| 학생 | x | y | x−x̄ | y−ȳ | (x−x̄)(y−ȳ) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 52 | −2.5 | −9.667 | 24.167 |
| 2 | 2 | 55 | −1.5 | −6.667 | 10.000 |
| 3 | 3 | 61 | −0.5 | −0.667 | 0.333 |
| 4 | 4 | 60 | 0.5 | −1.667 | −0.833 |
| 5 | 5 | 68 | 1.5 | 6.333 | 9.500 |
| 6 | 6 | 74 | 2.5 | 12.333 | 30.833 |
1단계: 평균
x̄ = 21 / 6 = 3.5, ȳ = 370 / 6 ≈ 61.667
2단계: 제곱합과 교차곱합
Sxy = 24.167 + 10.000 + 0.333 − 0.833 + 9.500 + 30.833 = 74Sxx = 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 = 17.5Syy ≈ 333.333
3단계: 피어슨 r
r = 74 / √(17.5 × 333.333) = 74 / √5833.33 ≈ 74 / 76.376 ≈ 0.9689
매우 강한 양의 선형 관계입니다. 이 r에 대한 검정(귀무가설 ρ=0, 자유도 4)의 양측 p값은 약 0.0014입니다.
4단계: 스피어만 ρ
x의 순위는 1~6 그대로이고, y의 순위는 1, 2, 4, 3, 5, 6입니다(60이 61보다 작으므로 학생 3·4의 순위가 바뀝니다). 순위 차이 d는 0, 0, −1, 1, 0, 0이고 Σd² = 2입니다.
ρ = 1 − 6 × 2 / (6 × (36 − 1)) = 1 − 12 / 210 ≈ 0.9429
5단계: 회귀직선
- 기울기:
b = Sxy / Sxx = 74 / 17.5 ≈ 4.2286 - 절편:
a = ȳ − b × x̄ = 61.667 − 4.2286 × 3.5 ≈ 46.867 - 회귀식:
ŷ ≈ 46.867 + 4.2286x
기울기와 r² 해석
- 기울기 4.2286: 공부 시간이 1시간 많은 학생은 점수가 평균적으로 약 4.23점 높게 예측된다는 뜻입니다. 기울기는 단위가 있는 값(점/시간)이므로, x나 y의 단위를 바꾸면 기울기도 바뀝니다. 반면 r은 단위가 없습니다.
- 절편 46.867: x=0일 때의 예측값입니다. 여기서는 공부를 전혀 하지 않은 경우인데, 데이터에 x=0이 없으므로 관측 범위 밖의 외삽이라 해석에 조심해야 합니다.
- 결정계수 r² ≈ 0.9387: 점수의 전체 변동 가운데 약 93.9%가 공부 시간과의 선형 관계로 설명된다는 뜻입니다. 단순 회귀에서 r²는 피어슨 r의 제곱과 같습니다.
기울기와 r은 부호가 항상 같고, b = r × (s_y / s_x) 관계가 있습니다. 즉 r이 같아도 y의 흩어짐이 크면 기울기가 커집니다.
이상치의 영향
위 데이터에 학생 한 명을 추가해 보겠습니다. 공부 시간 7시간인데 점수는 30점입니다(시험 당일 컨디션 문제였다고 합시다).
| 구분 | 원래 6명 | 이상치 포함 7명 |
|---|---|---|
| 피어슨 r | 약 0.9689 | 약 −0.1149 |
| 스피어만 ρ | 약 0.9429 | 약 0.2143 |
점 하나로 피어슨 r의 부호까지 바뀌었습니다. 피어슨 r은 평균과 편차 제곱을 쓰기 때문에, x와 y 모두 극단에 있는 점 하나가 결과를 좌우할 수 있습니다. 스피어만 ρ도 영향을 받았지만 순위를 쓰기 때문에 변화 폭이 상대적으로 작습니다. 이런 이유로 다음 순서를 권합니다.
- 산점도로 이상치와 곡선 관계를 먼저 확인합니다.
- 이상치가 입력 오류인지 실제 값인지 확인합니다.
- 실제 값이라면 이상치를 포함한 결과와 제외한 결과를 모두 보고하거나, 스피어만 ρ를 함께 제시합니다.
상관은 인과가 아닙니다
강한 상관이 있어도 x가 y의 원인이라고 말할 수는 없습니다. 흔한 이유는 다음과 같습니다.
- 제3의 변수(교란변수): 아이스크림 판매량과 물놀이 사고는 함께 늘지만, 둘 다 기온이 원인입니다.
- 역인과: 운동량이 많은 사람이 건강한 것인지, 건강한 사람이 운동을 더 하는 것인지 상관만으로는 구분할 수 없습니다.
- 우연: 변수 쌍을 많이 살펴보면 관계없는 변수들 사이에서도 강한 상관이 우연히 나타납니다.
- 선택 편향: 특정 조건을 만족하는 사람만 표본에 들어오면 없던 상관이 생기거나 있던 상관이 사라집니다.
인과를 주장하려면 무작위 배정 실험이나, 교란변수를 체계적으로 통제한 연구 설계가 필요합니다. 회귀분석의 기울기도 마찬가지로 "x를 바꾸면 y가 바뀐다"가 아니라 "x가 다른 대상들 사이에서 y가 평균적으로 이만큼 다르다"로 해석하는 것이 안전합니다.
무엇을 쓸까
| 상황 | 권장 |
|---|---|
| 두 연속 변수, 직선 관계, 이상치 없음 | 피어슨 r |
| 단조 관계지만 곡선, 이상치 있음, 순서형 데이터 | 스피어만 ρ |
| x로 y를 예측하거나 변화량을 알고 싶음 | 단순 선형회귀(기울기·절편·r²) |
이 사이트의 상관·회귀 계산기에 x, y 쌍을 붙여 넣으면 피어슨 r, 스피어만 ρ, 회귀식, r²를 한 번에 확인할 수 있습니다.
핵심 정리
- 피어슨 r은 선형 관계의 강도, 스피어만 ρ는 순위 기반의 단조 관계 강도를 나타냅니다.
- 예제 6쌍에서 r ≈ 0.9689, ρ ≈ 0.9429, 회귀식
ŷ ≈ 46.867 + 4.2286x, r² ≈ 0.9387입니다. - 기울기는 x 한 단위당 y의 평균 변화량(단위 있음), r²는 y 변동 중 선형 관계로 설명되는 비율입니다.
- 이상치 한 점으로 피어슨 r이 0.9689에서 −0.1149로 바뀔 수 있으므로 산점도를 먼저 봅니다.
- 상관과 회귀 기울기는 인과를 증명하지 않습니다.