问卷调查样本量计算：由误差范围和置信水平确定

设计问卷调查时首先遇到的问题是“要问多少人”。太少则结果误差大、没有用处；太多则浪费成本和时间。对于估计比例的问卷，只要确定所需的误差范围和置信水平，就能用简单的公式求出样本量。

基本公式

估计总体比例 p 时，要把误差控制在 E 以内所需的样本量如下。

• n = z² × p(1−p) / E²

各符号的含义如下。

• z：与置信水平对应的标准正态分布临界值（90% 约为 1.645，95% 约为 1.960，99% 约为 2.576）
• p：预期的回答比例
• E：允许的误差范围（用小数表示，±3 个百分点即 0.03）

这个公式是把比例置信区间 p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n) 中的误差范围部分设为 E，再对 n 求解得到的。计算结果一律向上取整。如果四舍五入往下取，就无法满足所需的误差范围。

使用 p = 0.5 的原因

调查之前并不知道真实比例，而公式中含有 p。这时通常使用 p = 0.5。因为 p(1−p) 在 p 为 0.5 时取最大值 0.25。

也就是说，用 p=0.5 算出的样本量，无论真实比例是多少都能满足误差范围，是最保守的值。在一份问卷中询问多个题目时，它也是对所有题目都适用的样本量。如果有可靠信息表明以往调查的比例在 20% 左右，可以用 p=0.2 计算以减少样本。在 95%、±5 个百分点下，p=0.5 需要 385 人，而 p=0.2 只需 246 人。

示例：95% 置信水平，误差范围 ±5 个百分点

1. z = 1.96，p = 0.5，E = 0.05
2. n = 1.96² × 0.25 / 0.05² = 3.8415 × 0.25 / 0.0025 ≈ 384.15
3. 向上取整：385 人

选举民调中常见的“95% 置信水平下 ±3.1 个百分点”这类表述，是样本约 1,000 人时得出的值。

不同置信水平·误差范围所需的样本量

以下是总体足够大且 p=0.5 时的值（均已向上取整）。

从表中可以看出两个规律。

• 要把误差范围减半，样本需要约 4 倍。因为 n 与 E² 成反比。要从 ±5 个百分点精确 5 倍到 ±1 个百分点，需要 25 倍。
• 把置信水平从 95% 提高到 99%，需要约 1.73 倍。即 (2.576/1.960)² ≈ 1.73。

反过来：由样本量求误差范围

如果样本量已经确定，把公式反过来用就能求出误差范围。

• E = z × √(p(1−p) / n)

按 95%、p=0.5 计算，回复 200 人时为 1.96 × √(0.25/200) ≈ 0.0693（约 ±6.9 个百分点），500 人时约 ±4.4 个百分点，2,000 人时约 ±2.2 个百分点。阅读回复数已定的调查结果时，了解这个值就能判断两个选项之间的差距是否在误差范围之内。

有限总体校正

上述公式假定总体非常大。当总体 N 较小、样本占总体相当大的比例时，所需样本会减少。这称为有限总体校正（FPC）。

• n = n₀ / (1 + (n₀ − 1) / N)

这里的 n₀ 是用前面公式求出的值（取整前）。有的教材把分母写成 1 + n₀/N，但 N 在数百人以上时，结果几乎没有差别。

在员工 2,000 人的公司以 95%、±5 个百分点进行调查时如下。

1. n₀ ≈ 384.15
2. n = 384.15 / (1 + 383.15 / 2000) = 384.15 / 1.1916 ≈ 322.39
3. 向上取整：323 人

观察随总体规模的变化，就能看出校正的效果（95%、±5 个百分点）。

总体超过数万人后，所需样本几乎与总体规模无关。这就是为什么在人口 5,000 万的国家和人口 50 万的城市以同样精度调查，所需样本相差无几。一般以抽样比（n/N）超过 5% 作为应用校正的标准。

考虑回复率

公式给出的是最终回复数。需要发放或联系的人数，要用预期回复率去除来求得。

• 发放数量 = 所需回复数 / 预期回复率

所需回复 385 人、预期回复率 30% 时，385 / 0.30 ≈ 1,283.3 → 需要发给 1,284 人。如果是前面的公司示例（323 人），在回复率 30% 时需要发给 1,077 人，也就是全体员工的一半以上。

不过，回复率越低，未回复者与回复者存在差异的可能性（无回答偏差）越大。增加样本只能减少随机误差，无法减少这种偏差。

如果计划进行子群体分析

如果不仅报告整体结果，还计划报告各年龄段、各地区的结果，就需要在每个子群体中分别确保所需样本。把整体 385 人分成 5 个年龄段，每组约 77 人，组内的误差范围在 95% 下约扩大到 ±11 个百分点。如果希望每个子群体都达到 ±5 个百分点，每组需要接近 385 人。

公式的前提

• 假定为简单随机抽样。使用分层抽样、整群抽样时，需要乘以设计效应（design effect）进行校正。
• 用于比例估计。估计均值或比较两组的检验，要使用其他公式（包含标准差、效应量、检验功效）。
• 对于方便样本（公开的网络链接等），误差范围这一概念本身并不严格适用。

在本站的样本量计算器中输入置信水平、误差范围、总体规模和回复率，即可同时计算所需回复数和发放数量。

要点总结

• 所需样本为 n = z² × p(1−p) / E²，结果一律向上取整。
• 不知道 p 时，使用使 p(1−p) 最大的 0.5 进行保守计算。
• 95% 下，±5 个百分点需要 385 人，±3 个百分点需要 1,068 人，±1 个百分点需要 9,604 人。
• 总体较小时用 n₀ / (1 + (n₀−1)/N) 校正。N=2,000 时为 323 人。
• 发放数量用所需回复数除以回复率求得，并记住无回答偏差不会因增加样本而减少。

→ 用计算器直接计算: 样本量

更新日期 2026-09-23