Ein Konfidenzintervall vermittelt statt eines einzelnen Schätzwerts auch die Unsicherheit im Sinne von „der wahre Wert liegt vermutlich in diesem Bereich“. Auch die „Fehlertoleranz von ±3 Prozentpunkten“ bei Umfrageergebnissen ist eine Form des Konfidenzintervalls. Der Ausdruck 95-%-Konfidenzintervall wird jedoch häufig falsch verstanden. In diesem Artikel klären wir zuerst die genaue Bedeutung und berechnen dann Konfidenzintervalle für Mittelwert und Anteil anhand von Beispielen.
Worauf beziehen sich die 95 %?
Der Mittelwert der Grundgesamtheit μ ist unbekannt, aber ein fester, einzelner Wert. Das Konfidenzintervall dagegen ist ein zufälliges Intervall, das sich mit jeder Stichprobe ändert. Die Wahrscheinlichkeit von 95 % bezieht sich daher auf die Methode, mit der das Intervall konstruiert wird.
Würde man immer wieder auf dieselbe Weise Stichproben ziehen und Konfidenzintervalle bilden, würden etwa 95 % dieser Intervalle den wahren Wert enthalten.
Für ein bereits berechnetes einzelnes Intervall, etwa [45.74, 54.26], zu sagen „μ liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit darin“, ist streng genommen falsch. Dieses Intervall enthält μ entweder oder nicht – wir wissen es nur nicht. In der Praxis formuliert man so, dass die Verlässlichkeit der Methode deutlich wird, etwa: „Bei einem Konfidenzniveau von 95 % wird der Mittelwert der Grundgesamtheit auf 45.74 bis 54.26 geschätzt.“
Auch die folgenden Irrtümer sind verbreitet.
- „95 % der Daten liegen in diesem Intervall“: Nein. Das Konfidenzintervall bezieht sich auf einen Parameter (etwa den Mittelwert); die Spannweite einzelner Datenpunkte ist viel größer.
- „Der Mittelwert der nächsten Stichprobe liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit darin“: Ebenfalls nein. Das ist eine Frage des Prognoseintervalls.
Grundstruktur eines Konfidenzintervalls
Die meisten Konfidenzintervalle haben dieselbe Form.
Schätzwert ± kritischer Wert × Standardfehler
Der kritische Wert wird mit steigendem Konfidenzniveau größer, der Standardfehler mit wachsender Stichprobe kleiner. Ein höheres Konfidenzniveau macht das Intervall also breiter, eine größere Stichprobe schmaler. Da der Standardfehler proportional zu 1/√n ist, muss man die Stichprobe vervierfachen, um die Intervallbreite zu halbieren.
z oder t – was verwendet man?
Beim Konfidenzintervall für den Mittelwert hängt der kritische Wert davon ab, ob die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ bekannt ist.
- σ ist bekannt (selten): Man verwendet den z-Wert der Standardnormalverteilung. Für 95 % ist das
1.96. - σ ist unbekannt und wird durch die Stichproben-Standardabweichung s ersetzt (der Normalfall): Man verwendet den t-Wert der t-Verteilung mit
n−1Freiheitsgraden.
Der t-Wert ist größer als z, weil er die zusätzliche Unsicherheit durch die Schätzung von s berücksichtigt. Je kleiner die Stichprobe, desto größer der Unterschied.
| Freiheitsgrade | Kritischer t-Wert für 95 % |
|---|---|
| 2 | ca. 4.303 |
| 5 | ca. 2.571 |
| 10 | ca. 2.228 |
| 15 | ca. 2.131 |
| 30 | ca. 2.042 |
| 100 | ca. 1.984 |
| unendlich (z) | ca. 1.960 |
Beispiel 1: Konfidenzintervall für den Mittelwert
Eine Stichprobe von 16 Werten hat den Mittelwert x̄ = 50 und die Stichproben-Standardabweichung s = 8.
- Standardfehler:
SE = s / √n = 8 / √16 = 2 - Freiheitsgrade:
16 − 1 = 15, kritischer t-Wert für 95 %≈ 2.1314 - Fehlertoleranz:
2.1314 × 2 ≈ 4.263 - Konfidenzintervall:
50 ± 4.263→[45.74, 54.26]
Rechnet man stattdessen mit z (1.96), erhält man 50 ± 3.92 → [46.08, 53.92], also ein schmaleres Intervall. Verwendet man z, obwohl σ unbekannt ist, liegt die tatsächliche Überdeckungswahrscheinlichkeit unter 95 %; bei kleinen Stichproben muss man daher t verwenden.
Beispiel 2: Konfidenzintervall für einen Anteil (Wald und Wilson)
Für das Konfidenzintervall eines Anteils p gibt es mehrere Formeln. In Lehrbüchern steht meist zuerst das Wald-Intervall.
- Wald:
p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n)
Antworten 120 von 400 Personen mit „Ja“, ist p̂ = 0.30.
- Standardfehler:
√(0.30 × 0.70 / 400) ≈ 0.02291 - Fehlertoleranz:
1.96 × 0.02291 ≈ 0.0449 - Wald-95-%-Intervall:
[0.2551, 0.3449]
Das Wilson-Intervall wird aus einem Ansatz hergeleitet, der im Standardfehler statt p̂ den hypothetischen Wert verwendet; die Formel ist etwas komplizierter, hat aber gute Eigenschaften.
- Wilson: Mitte
(p̂ + z²/(2n)) / (1 + z²/n), halbe Breitez/(1 + z²/n) × √(p̂(1−p̂)/n + z²/(4n²))
Auf dieselben Daten angewandt ergibt sich [0.2572, 0.3466], also fast dasselbe wie bei Wald. Ist n groß und p̂ weit von 0 oder 1 entfernt, liefern beide Methoden ähnliche Ergebnisse.
Die Unterschiede zeigen sich, wenn die Stichprobe klein ist oder der Anteil nahe an den Extremen liegt. Betrachten wir 2 von 20 Personen (p̂ = 0.10).
| Methode | 95-%-Intervall |
|---|---|
| Wald | [−0.0315, 0.2315] |
| Wilson | [0.0279, 0.3010] |
Beim Wald-Intervall wird die Untergrenze negativ, was für einen Anteil keinen Sinn ergibt. Zudem ist bekannt, dass die tatsächliche Überdeckungswahrscheinlichkeit des Wald-Intervalls unter solchen Bedingungen deutlich unter den nominellen 95 % liegt. Das Wilson-Intervall verlässt den Bereich 0–1 nicht, seine Mitte wird leicht in Richtung 0.5 gezogen, und seine Überdeckung liegt näher am Nominalwert. Deshalb wird heute oft das Wilson-Intervall als Standard empfohlen.
Zusammenhang zwischen Konfidenzintervall und Hypothesentest
Das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert und der zweiseitige t-Test auf dem Signifikanzniveau 0.05 zeigen dieselbe Information auf unterschiedliche Weise. Liegt ein Wert μ₀ außerhalb des 95-%-Konfidenzintervalls, ist der zweiseitige p-Wert für die Nullhypothese „der Mittelwert der Grundgesamtheit ist μ₀“ kleiner als 0.05. Liegt er innerhalb, ist der p-Wert mindestens 0.05.
Das Intervall [45.74, 54.26] aus Beispiel 1 enthält 45 nicht. Tatsächlich ergibt ein Einstichproben-t-Test mit der Nullhypothese μ₀ = 45 t = (50 − 45) / 2 = 2.5 und bei 15 Freiheitsgraden zweiseitig p ≈ 0.0245, also weniger als 0.05. Das Konfidenzintervall zeigt darüber hinaus den „Bereich plausibler Werte“ und enthält damit mehr Information als ein einzelner p-Wert.
Prüfen wir auch den Effekt des Stichprobenumfangs. Bei gleichem x̄ = 50 und s = 8, aber 64 Werten, beträgt der Standardfehler 8 / 8 = 1 und der kritische t-Wert bei 63 Freiheitsgraden etwa 1.998; das Intervall ist also 50 ± 2.00 → [48.00, 52.00]. Durch die Vervierfachung der Stichprobe sank die Breite von etwa 8.53 auf 4.00 – auf weniger als die Hälfte (weil auch der kritische t-Wert kleiner wurde).
Praxistipps
- Geben Sie Konfidenzniveau und Methode gemeinsam an. Zum Beispiel „95-%-KI (t-Verteilung)“ oder „95-%-KI (Wilson)“.
- Schließen Sie aus überlappenden Intervallen nicht, dass kein Unterschied besteht. Genauer ist es, das Konfidenzintervall der Differenz der beiden Mittelwerte direkt zu berechnen.
- Zuerst muss die Stichprobe repräsentativ sein. Das Konfidenzintervall berücksichtigt nur den zufälligen Stichprobenfehler, nicht aber Antwortverzerrungen oder Auswahlverzerrungen.
Mit dem Konfidenzintervall-Rechner dieser Website können Sie Intervalle für Mittelwerte (z·t) und Anteile (Wald·Wilson) nebeneinander berechnen.
Das Wichtigste in Kürze
- Die 95 % sind die langfristige Überdeckungsrate der Methode, nicht die Wahrscheinlichkeit, dass μ in einem einzelnen berechneten Intervall liegt.
- Ein Konfidenzintervall hat die Struktur
Schätzwert ± kritischer Wert × Standardfehler; um die Breite zu halbieren, muss die Stichprobe vervierfacht werden. - Ist σ unbekannt, verwendet man die t-Verteilung. Für n=16, x̄=50, s=8 ist das 95-%-Intervall
[45.74, 54.26]. - Für den Anteil 120/400 lautet das 95-%-Intervall nach Wald
[0.2551, 0.3449]und nach Wilson[0.2572, 0.3466]. - Bei kleinen Stichproben oder extremen Anteilen (z. B. 2/20) ist Wald ungenau und liefert etwa negative Untergrenzen; empfohlen wird Wilson.