Bei der Planung einer Umfrage stellt sich als Erstes die Frage: „Wie viele Personen muss ich befragen?“ Sind es zu wenige, ist der Fehler der Ergebnisse so groß, dass sie nutzlos sind; sind es zu viele, werden Kosten und Zeit verschwendet. Die Stichprobengröße einer Umfrage, die einen Anteil schätzt, lässt sich mit einer einfachen Formel bestimmen, sobald man die gewünschte Fehlertoleranz und das Konfidenzniveau festgelegt hat.
Die Grundformel
Um einen Anteil p der Grundgesamtheit mit einer Fehlertoleranz von höchstens E zu schätzen, benötigt man folgende Stichprobengröße.
n = z² × p(1−p) / E²
Die Symbole bedeuten:
z: kritischer Wert der Standardnormalverteilung zum Konfidenzniveau (90 % ca. 1.645, 95 % ca. 1.960, 99 % ca. 2.576)p: erwarteter Anteil der AntwortenE: zulässige Fehlertoleranz (als Dezimalzahl, bei ±3 Prozentpunkten also 0.03)
Diese Formel erhält man, indem man im Konfidenzintervall eines Anteils p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n) die Fehlertoleranz gleich E setzt und nach n auflöst. Das Ergebnis wird immer aufgerundet. Rundet man ab, wird die gewünschte Fehlertoleranz nicht erreicht.
Warum man p = 0.5 verwendet
Vor der Erhebung kennt man den tatsächlichen Anteil nicht, die Formel enthält aber p. Man verwendet dann üblicherweise p = 0.5, denn p(1−p) erreicht bei p = 0.5 seinen Höchstwert 0.25.
| p | p(1−p) |
|---|---|
| 0.1 oder 0.9 | 0.09 |
| 0.2 oder 0.8 | 0.16 |
| 0.3 oder 0.7 | 0.21 |
| 0.5 | 0.25 |
Die mit p=0.5 berechnete Stichprobengröße ist also der vorsichtigste Wert, der die Fehlertoleranz unabhängig vom tatsächlichen Anteil einhält. Auch wenn eine Umfrage mehrere Fragen enthält, passt diese Größe für alle Fragen. Gibt es aus früheren Erhebungen verlässliche Hinweise, dass der Anteil bei etwa 20 % liegt, kann man mit p=0.2 rechnen und die Stichprobe verkleinern. Bei 95 % und ±5 Prozentpunkten sind es mit p=0.5 385 Personen, mit p=0.2 dagegen 246.
Beispiel: 95 % Konfidenzniveau, Fehlertoleranz ±5 Prozentpunkte
z = 1.96,p = 0.5,E = 0.05n = 1.96² × 0.25 / 0.05² = 3.8415 × 0.25 / 0.0025 ≈ 384.15- Aufrunden: 385 Personen
Angaben wie „±3.1 Prozentpunkte bei 95 % Konfidenzniveau“, die man oft bei Wahlumfragen sieht, ergeben sich bei einer Stichprobe von etwa 1,000 Personen.
Erforderliche Stichprobengröße nach Konfidenzniveau und Fehlertoleranz
Die Werte gelten für eine ausreichend große Grundgesamtheit und p=0.5 (alle aufgerundet).
| Konfidenzniveau | ±1 Prozentpunkt | ±3 Prozentpunkte | ±5 Prozentpunkte |
|---|---|---|---|
| 90% | 6,764 | 752 | 271 |
| 95% | 9,604 | 1,068 | 385 |
| 99% | 16,588 | 1,844 | 664 |
Aus der Tabelle lassen sich zwei Tendenzen ablesen.
- Um die Fehlertoleranz zu halbieren, braucht man etwa die 4-fache Stichprobe, denn n ist umgekehrt proportional zu E². Um von ±5 auf ±1 Prozentpunkt fünfmal genauer zu werden, braucht man das 25-Fache.
- Erhöht man das Konfidenzniveau von 95 % auf 99 %, braucht man etwa das 1.73-Fache, denn
(2.576/1.960)² ≈ 1.73.
Umgekehrt: die Fehlertoleranz aus der Stichprobengröße bestimmen
Steht die Stichprobengröße bereits fest, verwendet man die Formel umgekehrt, um die Fehlertoleranz zu bestimmen.
E = z × √(p(1−p) / n)
Bei 95 % und p=0.5 ergeben 200 Antworten 1.96 × √(0.25/200) ≈ 0.0693 (etwa ±6.9 Prozentpunkte), 500 Antworten etwa ±4.4 und 2,000 Antworten etwa ±2.2 Prozentpunkte. Kennt man diesen Wert beim Lesen von Umfrageergebnissen mit fester Antwortzahl, kann man abschätzen, ob der Unterschied zwischen zwei Antwortoptionen innerhalb der Fehlertoleranz liegt.
Endlichkeitskorrektur
Die obige Formel setzt eine sehr große Grundgesamtheit voraus. Ist die Grundgesamtheit N klein, sodass die Stichprobe einen erheblichen Teil davon ausmacht, sinkt die benötigte Stichprobengröße. Das nennt man Endlichkeitskorrektur (FPC).
n = n₀ / (1 + (n₀ − 1) / N)
Dabei ist n₀ der mit der obigen Formel ermittelte Wert (vor dem Aufrunden). Manche Lehrbücher schreiben den Nenner als 1 + n₀/N; ab einigen hundert Personen in N ist der Unterschied im Ergebnis vernachlässigbar.
Für eine Befragung in einem Unternehmen mit 2,000 Mitarbeitenden bei 95 % und ±5 Prozentpunkten gilt:
n₀ ≈ 384.15n = 384.15 / (1 + 383.15 / 2000) = 384.15 / 1.1916 ≈ 322.39- Aufrunden: 323 Personen
Die Veränderung in Abhängigkeit von der Größe der Grundgesamtheit zeigt die Wirkung der Korrektur (95 %, ±5 Prozentpunkte).
| Grundgesamtheit N | Erforderliche Stichprobe |
|---|---|
| 500 | 218 |
| 2,000 | 323 |
| 10,000 | 370 |
| 100,000 | 383 |
| sehr groß | 385 |
Übersteigt die Grundgesamtheit einige zehntausend Personen, ist die benötigte Stichprobe nahezu unabhängig von ihrer Größe. Deshalb braucht man für eine gleich genaue Umfrage in einem Land mit über 80 Millionen Einwohnern wie Deutschland und in einer Stadt mit 500,000 Einwohnern ähnlich große Stichproben. Als übliche Faustregel wendet man die Korrektur an, wenn der Auswahlsatz (n/N) 5 % übersteigt.
Rücklaufquote berücksichtigen
Die Formel liefert die Zahl der endgültigen Antworten. Wie viele Personen man anschreiben oder kontaktieren muss, ergibt sich durch Division durch die erwartete Rücklaufquote.
Versandmenge = benötigte Antworten / erwartete Rücklaufquote
Bei 385 benötigten Antworten und einer erwarteten Rücklaufquote von 30 % ergibt sich 385 / 0.30 ≈ 1,283.3 → 1,284 Personen müssen angeschrieben werden. Im obigen Unternehmensbeispiel (323 Personen) wären es bei 30 % Rücklauf 1,077 Personen – also mehr als die Hälfte der gesamten Belegschaft.
Je niedriger die Rücklaufquote, desto größer ist jedoch die Wahrscheinlichkeit, dass sich Nichtantwortende von Antwortenden unterscheiden (Nonresponse-Bias). Eine größere Stichprobe verringert nur den Zufallsfehler, nicht aber diese Verzerrung.
Wenn Untergruppenanalysen geplant sind
Sollen nicht nur Gesamtergebnisse, sondern auch Ergebnisse nach Altersgruppen oder Regionen berichtet werden, muss innerhalb jeder Untergruppe die nötige Stichprobe gesondert gesichert werden. Teilt man 385 Personen auf 5 Altersgruppen auf, sind es etwa 77 pro Gruppe, und die Fehlertoleranz innerhalb einer Gruppe steigt bei 95 % auf etwa ±11 Prozentpunkte. Wünscht man ±5 Prozentpunkte in jeder Untergruppe, braucht man pro Gruppe annähernd 385 Personen.
Voraussetzungen der Formel
- Sie setzt eine einfache Zufallsstichprobe voraus. Bei geschichteten oder Klumpenstichproben muss mit dem Designeffekt (design effect) multipliziert und korrigiert werden.
- Sie dient der Schätzung von Anteilen. Für die Schätzung von Mittelwerten oder Tests zum Vergleich zweier Gruppen verwendet man andere Formeln (mit Standardabweichung, Effektstärke und Teststärke).
- Auf Gelegenheitsstichproben (etwa öffentlich geteilte Online-Links) lässt sich das Konzept der Fehlertoleranz streng genommen gar nicht anwenden.
Geben Sie Konfidenzniveau, Fehlertoleranz, Größe der Grundgesamtheit und Rücklaufquote in den Stichprobengrößen-Rechner dieser Website ein, um die benötigte Antwortzahl und die Versandmenge zusammen zu berechnen.
Das Wichtigste in Kürze
- Die benötigte Stichprobe ist
n = z² × p(1−p) / E²; das Ergebnis wird immer aufgerundet. - Ist p unbekannt, rechnet man vorsichtig mit 0.5, wo
p(1−p)maximal wird. - Für 95 % benötigt man bei ±5 Prozentpunkten 385, bei ±3 Prozentpunkten 1,068 und bei ±1 Prozentpunkt 9,604 Personen.
- Bei kleiner Grundgesamtheit korrigiert man mit
n₀ / (1 + (n₀−1)/N); bei N=2,000 sind es 323 Personen. - Die Versandmenge ergibt sich aus benötigten Antworten geteilt durch die Rücklaufquote; der Nonresponse-Bias sinkt auch mit größerer Stichprobe nicht.