Korrelation und Regression: Pearsons r, Spearmans ρ und die Steigung

Will man wissen, ob sich zwei Variablen gemeinsam bewegen, greift man zuerst zur Korrelations- und zur Regressionsanalyse. Beide überschneiden sich in der Berechnung stark, stellen aber unterschiedliche Fragen. Die Korrelation fragt: „Wie stark bewegen sich zwei Variablen gemeinsam?“, die Regression: „Um wie viel ändert sich y im Mittel, wenn sich x um eine Einheit ändert?“

Pearsons Korrelationskoeffizient r

Pearsons r beschreibt Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zweier stetiger Variablen mit einem Wert zwischen −1 und 1.

• r = Sxy / √(Sxx × Syy)
• Sxy = Σ(x−x̄)(y−ȳ), Sxx = Σ(x−x̄)², Syy = Σ(y−ȳ)²

Ein r nahe 1 bedeutet einen starken positiven linearen Zusammenhang, nahe −1 einen starken negativen, nahe 0 einen schwachen linearen Zusammenhang. Die Maßstäbe für die Stärke unterscheiden sich je nach Fachgebiet, häufig wird aber die Konvention verwendet, Beträge von 0.1, 0.3 und 0.5 als schwach, mittel und stark zu werten.

Ein r nahe 0 heißt nicht, dass kein Zusammenhang besteht. Auch bei einem deutlichen kurvenförmigen Zusammenhang wie y = x² kann r nahe 0 liegen. Deshalb betrachtet man vor der Berechnung des Korrelationskoeffizienten immer zuerst ein Streudiagramm.

Spearmans Rangkorrelation ρ

Spearmans ρ ist Pearsons r, berechnet auf den Rängen statt auf den Originalwerten. Ohne Rangbindungen entspricht es der folgenden einfachen Formel.

• ρ = 1 − 6Σd² / (n(n²−1)) (d ist die Rangdifferenz jedes Paares)

Spearmans ρ erfasst auch nicht-lineare Zusammenhänge, solange sie stetig in eine Richtung steigen oder fallen (monoton), und ist weniger anfällig für Ausreißer. Es eignet sich auch für ordinale Daten (etwa Zufriedenheitsränge).

Beispiel: Lernzeit und Punktzahl

Lernzeit (x, Stunden) und Punktzahl (y) von 6 Schülern:

Schritt 1: Mittelwerte

x̄ = 21 / 6 = 3.5, ȳ = 370 / 6 ≈ 61.667

Schritt 2: Quadratsummen und Summe der Kreuzprodukte

• Sxy = 24.167 + 10.000 + 0.333 − 0.833 + 9.500 + 30.833 = 74
• Sxx = 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 = 17.5
• Syy ≈ 333.333

Schritt 3: Pearsons r

r = 74 / √(17.5 × 333.333) = 74 / √5833.33 ≈ 74 / 76.376 ≈ 0.9689

Das ist ein sehr starker positiver linearer Zusammenhang. Der zweiseitige p-Wert des Tests für dieses r (Nullhypothese ρ=0, 4 Freiheitsgrade) beträgt etwa 0.0014.

Schritt 4: Spearmans ρ

Die Ränge von x sind unverändert 1–6, die Ränge von y sind 1, 2, 4, 3, 5, 6 (da 60 kleiner als 61 ist, tauschen Schüler 3 und 4 die Ränge). Die Rangdifferenzen d sind 0, 0, −1, 1, 0, 0 und Σd² = 2.

ρ = 1 − 6 × 2 / (6 × (36 − 1)) = 1 − 12 / 210 ≈ 0.9429

Schritt 5: Regressionsgerade

• Steigung: b = Sxy / Sxx = 74 / 17.5 ≈ 4.2286
• Achsenabschnitt: a = ȳ − b × x̄ = 61.667 − 4.2286 × 3.5 ≈ 46.867
• Regressionsgleichung: ŷ ≈ 46.867 + 4.2286x

Steigung und r² interpretieren

• Steigung 4.2286: Für einen Schüler, der eine Stunde länger lernt, wird im Mittel eine um etwa 4.23 Punkte höhere Punktzahl vorhergesagt. Die Steigung hat eine Einheit (Punkte/Stunde); ändert man die Einheit von x oder y, ändert sich auch die Steigung. r ist dagegen einheitenlos.
• Achsenabschnitt 46.867: Das ist der vorhergesagte Wert bei x=0, hier also ohne jedes Lernen. Da x=0 in den Daten nicht vorkommt, handelt es sich um eine Extrapolation außerhalb des Beobachtungsbereichs, die man vorsichtig interpretieren muss.
• Bestimmtheitsmaß r² ≈ 0.9387: Etwa 93.9 % der Gesamtvariation der Punktzahlen werden durch den linearen Zusammenhang mit der Lernzeit erklärt. Bei der einfachen Regression ist r² gleich dem Quadrat von Pearsons r.

Steigung und r haben stets dasselbe Vorzeichen, und es gilt b = r × (s_y / s_x). Bei gleichem r ist die Steigung also größer, wenn y stärker streut.

Der Einfluss von Ausreißern

Fügen wir den obigen Daten einen Schüler hinzu: 7 Stunden Lernzeit, aber nur 30 Punkte (nehmen wir an, er war am Prüfungstag krank).

Ein einziger Punkt hat sogar das Vorzeichen von Pearsons r umgekehrt. Da Pearsons r Mittelwerte und quadrierte Abweichungen verwendet, kann ein einzelner Punkt, der in x und y extrem liegt, das Ergebnis bestimmen. Auch Spearmans ρ wurde beeinflusst, verändert sich aber wegen der Verwendung von Rängen vergleichsweise wenig. Aus diesem Grund empfiehlt sich folgendes Vorgehen.

1. Prüfen Sie zuerst mit einem Streudiagramm auf Ausreißer und kurvenförmige Zusammenhänge.
2. Klären Sie, ob ein Ausreißer ein Eingabefehler oder ein tatsächlicher Wert ist.
3. Ist er ein tatsächlicher Wert, berichten Sie die Ergebnisse mit und ohne Ausreißer oder geben Sie zusätzlich Spearmans ρ an.

Korrelation ist keine Kausalität

Auch eine starke Korrelation erlaubt nicht die Aussage, dass x die Ursache von y ist. Häufige Gründe sind:

• Dritte Variable (Störvariable): Eisverkäufe und Badeunfälle steigen gemeinsam, doch die Ursache beider ist die Temperatur.
• Umgekehrte Kausalität: Ob Menschen gesund sind, weil sie viel Sport treiben, oder ob gesunde Menschen mehr Sport treiben, lässt sich allein mit einer Korrelation nicht unterscheiden.
• Zufall: Betrachtet man viele Variablenpaare, zeigen sich auch zwischen unzusammenhängenden Variablen zufällig starke Korrelationen.
• Selektionsverzerrung: Gelangen nur Personen in die Stichprobe, die eine bestimmte Bedingung erfüllen, entstehen Korrelationen, die es nicht gibt, oder vorhandene verschwinden.

Um Kausalität zu behaupten, braucht man randomisierte Experimente oder ein Studiendesign, das Störvariablen systematisch kontrolliert. Auch die Steigung einer Regression interpretiert man sicherer nicht als „ändert man x, ändert sich y“, sondern als „zwischen Objekten mit unterschiedlichem x unterscheidet sich y im Mittel um diesen Betrag“.

Was verwendet man?

Fügen Sie x-y-Paare in den Korrelations- und Regressionsrechner dieser Website ein, um Pearsons r, Spearmans ρ, die Regressionsgleichung und r² auf einen Blick zu sehen.

Das Wichtigste in Kürze

• Pearsons r misst die Stärke eines linearen Zusammenhangs, Spearmans ρ die Stärke eines rangbasierten monotonen Zusammenhangs.
• Für die 6 Beispielpaare gilt r ≈ 0.9689, ρ ≈ 0.9429, Regressionsgleichung ŷ ≈ 46.867 + 4.2286x und r² ≈ 0.9387.
• Die Steigung ist die mittlere Änderung von y pro Einheit x (mit Einheit), r² der Anteil der Variation von y, der durch den linearen Zusammenhang erklärt wird.
• Ein einziger Ausreißer kann Pearsons r von 0.9689 auf −0.1149 ändern; betrachten Sie daher zuerst das Streudiagramm.
• Korrelation und Regressionssteigung beweisen keine Kausalität.

→ Jetzt berechnen: Korrelation

Aktualisiert 2026-09-23