Die Standardabweichung ist die am weitesten verbreitete Kennzahl dafür, wie stark Daten um ihren Mittelwert streuen. Wenn man sie jedoch mit einem Taschenrechner oder in Excel berechnet, erhält man mitunter zwei verschiedene Werte. Die eine Variante teilt die Summe der quadrierten Abweichungen durch n, die andere durch n−1. In diesem Artikel erklären wir anhand von Beispielen, was die beiden Formeln bedeuten, warum man bei Stichproben n−1 verwendet und welche Variante man in der Praxis wählen sollte.
Der Unterschied zwischen den beiden Formeln
Kennt man die gesamte Grundgesamtheit, lautet die Standardabweichung (Standardabweichung der Grundgesamtheit) wie folgt.
- Standardabweichung der Grundgesamtheit:
σ = √(Σ(x−μ)² / N)
Will man die Streuung der Grundgesamtheit aus einer Stichprobe schätzen, die nur einen Teil davon umfasst, verwendet man diese Formel.
- Stichproben-Standardabweichung:
s = √(Σ(x−x̄)² / (n−1))
Der Unterschied liegt an zwei Stellen. Erstens ist der Bezugswert nicht der Mittelwert der Grundgesamtheit μ, sondern der Stichprobenmittelwert x̄. Zweitens wird nicht durch n, sondern durch n−1 geteilt. Den zweiten Unterschied nennt man Bessel-Korrektur (Bessel's correction).
Warum teilt man durch n−1?
Der Stichprobenmittelwert x̄ wird aus genau dieser Stichprobe berechnet und liegt deshalb so nah wie möglich an ihren Datenpunkten. Tatsächlich wird die Summe der quadrierten Abweichungen Σ(x−c)² am kleinsten, wenn c der Stichprobenmittelwert ist. Misst man die Abweichungen also an x̄ statt am wahren Mittelwert μ, fällt die Summe der quadrierten Abweichungen systematisch zu klein aus.
Mathematisch ist der Erwartungswert der durch n geteilten Varianz (n−1)/n × σ². Bei einem Stichprobenumfang von 5 erreicht die durch n geteilte Varianz im Mittel also nur 4/5 = 80% der wahren Varianz. Multipliziert man zur Korrektur dieser Unterschätzung mit n/(n−1), erhält man genau die Formel mit Division durch n−1. Dadurch wird s² ein erwartungstreuer Schätzer der Varianz der Grundgesamtheit σ².
Eine andere Erklärung liefern die Freiheitsgrade. Für die n Abweichungen (x−x̄) gilt eine Nebenbedingung: Ihre Summe muss immer 0 sein. Sind also n−1 Abweichungen festgelegt, ergibt sich die letzte automatisch. Da nur n−1 Informationen frei variieren können, teilt man durch n−1.
Achtung:
s²ist ein erwartungstreuer Schätzer fürσ², die Wurzelsist jedoch kein erwartungstreuer Schätzer fürσ. Da die Wurzelfunktion konkav ist, istsim Mittel etwas kleiner alsσ. Mit wachsender Stichprobe wird dieser Unterschied aber vernachlässigbar, weshalb man in der Praxissunverändert verwendet.
Rechenbeispiel von Hand
Nehmen wir die folgenden 8 Werte.
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Schritt 1: Mittelwert
x̄ = (2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 = 40 / 8 = 5
Schritt 2: Abweichungen und quadrierte Abweichungen
| Wert x | Abweichung x−x̄ | Quadrierte Abweichung |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
Die Summe der Abweichungen ist −3−1−1−1+0+0+2+4 = 0 – die oben genannte Nebenbedingung bestätigt sich. Die Summe der quadrierten Abweichungen beträgt 9+1+1+1+0+0+4+16 = 32.
Schritt 3: Zwei Varianzen und Standardabweichungen
| Variante | Varianz | Standardabweichung |
|---|---|---|
| Grundgesamtheit (÷n) | 32 / 8 = 4 | √4 = 2 |
| Stichprobe (÷(n−1)) | 32 / 7 ≈ 4.5714 | √4.5714 ≈ 2.1381 |
Sind diese 8 Werte alles, was Sie interessiert, beträgt die Standardabweichung 2. Wollen Sie dagegen mit diesen 8 Werten die Streuung einer größeren Gruppe schätzen, aus der sie gezogen wurden, sollten Sie etwa 2.1381 angeben. Bei kleinem n wie 8 ist der Unterschied mit rund 7 % deutlich spürbar. Bei n = 100 schrumpft er auf etwa 0.5 %, bei n = 1,000 auf etwa 0.05 %.
Wann verwendet man welche Formel?
Das Kriterium lautet: „Sind meine Daten das gesamte Untersuchungsobjekt oder nur ein Teil davon?“
- Grundgesamtheit (÷n): Die Daten umfassen das gesamte Objekt – etwa wenn Sie die Streuung der Testergebnisse von 30 Schülern nur für genau diese Klasse beschreiben oder die Gehaltsverteilung aller Mitarbeitenden eines Unternehmens darstellen.
- Stichprobe (÷(n−1)): Die Daten sind Teil einer größeren Gruppe – etwa wenn Sie mit 500 Umfrageteilnehmenden die Einstellungen der gesamten Bevölkerung schätzen oder mit 20 aus einer Fertigungslinie entnommenen Teilen die Streuung des ganzen Prozesses.
In der Praxis sind die meisten Daten Stichproben. Alle Berechnungen, die zu Schlussfolgerungen führen – Konfidenzintervalle, t-Tests, Stichprobenumfangsplanung – setzen die Stichproben-Standardabweichung s voraus. Ist unklar, welcher Fall vorliegt, ist die Stichprobenformel die vorsichtigere Wahl.
Entsprechungen in Excel und Programmierwerkzeugen
| Werkzeug | Stichprobe (÷(n−1)) | Grundgesamtheit (÷n) |
|---|---|---|
| Excel · Google Sheets | STDEV.S, VAR.S (ältere Versionen STDEV; dt. Excel STABW.S) | STDEV.P, VAR.P (ältere Versionen STDEVP; dt. Excel STABW.N) |
| R | sd(), var() | manuelle Korrektur nötig |
| Python pandas | Series.std() Standard ddof=1 | std(ddof=0) |
| Python NumPy | np.std(x, ddof=1) | np.std(x) Standard ddof=0 |
Gerade bei NumPy und pandas sind die Standardeinstellungen entgegengesetzt, sodass dieselben Daten häufig unterschiedliche Werte liefern. Beim Vergleich von Ergebnissen sollten Sie daher zuerst prüfen, welche Formel verwendet wurde.
So liest man die Standardabweichung
Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie die Originaldaten – bei Punktzahlen „Punkte“, bei Körpergrößen „cm“. Die Varianz hat eine quadrierte Einheit und ist intuitiv schwer zu lesen, daher berichtet man üblicherweise die Standardabweichung. Sind die Daten annähernd normalverteilt, kann man grob davon ausgehen, dass etwa 68 % der Werte im Bereich Mittelwert ± 1 Standardabweichung und etwa 95 % im Bereich ± 2 Standardabweichungen liegen. Um die Streuung zweier Gruppen mit sehr unterschiedlichen Mittelwerten zu vergleichen, zieht man oft zusätzlich den Variationskoeffizienten (VK) heran, also die Standardabweichung geteilt durch den Mittelwert.
Häufige Fehler
- Im Bericht nicht angeben, welche Formel verwendet wurde: Bei kleinen Stichproben unterscheiden sich die Werte merklich, daher sollte man das Symbol
sbzw.σoder die Bezeichnung „Stichproben-Standardabweichung“ ausdrücklich nennen. - Standardabweichung und Standardfehler verwechseln: Der Standardfehler
SE = s / √nbeschreibt nicht die Streuung einzelner Datenpunkte, sondern die Streuung des Stichprobenmittelwerts. In Konfidenzintervallen wird der Standardfehler verwendet. - Die Stichproben-Standardabweichung für n = 1 berechnen: n−1 wird 0, der Wert ist also nicht definiert. Dass der Rechner einen Fehler meldet, ist korrekt.
- Ausreißer nicht prüfen: Weil die Standardabweichung mit Quadraten arbeitet, wird sie schon von einem einzelnen Extremwert stark beeinflusst. Besteht Verdacht auf Ausreißer, betrachtet man zusätzlich den Interquartilsabstand (IQR).
Wenn Sie Ihre Daten in den Rechner für deskriptive Statistik dieser Website einfügen, sehen Sie die Standardabweichung der Stichprobe und der Grundgesamtheit direkt nebeneinander.
Das Wichtigste in Kürze
- Umfassen die Daten das gesamte Objekt, teilt man durch n; sind sie Teil einer größeren Gruppe, durch n−1.
- Der Erwartungswert der durch n geteilten Stichprobenvarianz ist
(n−1)/n × σ²– sie unterschätzt also; die Division durch n−1 korrigiert das (Bessel-Korrektur). - Für das Beispiel
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9beträgt die Standardabweichung 2 (Grundgesamtheit) bzw. etwa 2.1381 (Stichprobe). - Excel unterscheidet
STDEV.S(Stichprobe) undSTDEV.P(Grundgesamtheit); NumPy und pandas haben unterschiedliche Standardeinstellungen. - Unterscheiden Sie die Standardabweichung (Streuung der Daten) vom Standardfehler (Streuung des Mittelwerts).