Quartile, IQR und Ausreißer: Warum Methoden verschiedene Werte liefern

Quartile sind die Grenzwerte, die sortierte Daten in vier gleich große Teile teilen. Das erste Quartil Q1 markiert die unteren 25 %, das zweite Quartil Q2 ist der Median und das dritte Quartil Q3 markiert die unteren 75 %. Das Konzept ist einfach, doch berechnet man dieselben Daten mit Excel, R und nach einem Statistiklehrbuch, erhält man für Q1 und Q3 häufig unterschiedliche Werte. Der Rechner irrt sich dabei nicht – es gibt schlicht mehrere Konventionen dafür, wie die Position zwischen den Datenpunkten bestimmt wird.

Warum gibt es mehrere Methoden?

Bei 10 Datenpunkten fällt der „25-%-Punkt“ nicht genau auf einen einzelnen Wert. Man kann ihn etwa beim 2.5-ten Wert ansetzen oder auch beim 3.25-ten. Die Statistiksoftware R fasst diese Definitionen in 9 Varianten (type 1–9) zusammen; weit verbreitet sind die folgenden drei.

Ist die Position k keine ganze Zahl, wird linear zwischen den beiden benachbarten Werten interpoliert. Bei k = 3.25 addiert man zum 3. Wert das 0.25-Fache von (4. Wert − 3. Wert). Bei den Tukey-Hinges gehört nach der ursprünglichen Definition der Median bei ungeradem n zu beiden Hälften.

Gleiche Daten, verschiedene Quartile

Die folgenden 10 Werte sind bereits sortiert.

2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 25

Der Median ist der Mittelwert aus 5. und 6. Wert, also (8+10)/2 = 9 – bei allen drei Methoden gleich. Unterschiede entstehen bei Q1 und Q3.

type 7 (Excel QUARTILE.INC)

• Position Q1: (10−1)×0.25 + 1 = 3.25 → 5 + 0.25×(7−5) = 5.5
• Position Q3: (10−1)×0.75 + 1 = 7.75 → 12 + 0.75×(13−12) = 12.75

type 6 (Excel QUARTILE.EXC)

• Position Q1: (10+1)×0.25 = 2.75 → 4 + 0.75×(5−4) = 4.75
• Position Q3: (10+1)×0.75 = 8.25 → 13 + 0.25×(15−13) = 13.5

Tukey-Hinges

• Median der unteren Hälfte 2, 4, 5, 7, 8 → 5
• Median der oberen Hälfte 10, 12, 13, 15, 25 → 13

type 6 liefert tendenziell etwas weiter nach außen gerückte Werte, type 7 eher nach innen gezogene, und die Tukey-Hinges liegen oft dazwischen. Bei mehreren hundert Datenpunkten verschwinden die Unterschiede praktisch, bei wenigen Dutzend oder weniger kann sich jedoch sogar die Interpretation ändern.

IQR und die 1.5×IQR-Zäune

Der Interquartilsabstand IQR = Q3 − Q1 ist die Breite, die die mittleren 50 % der Daten einnehmen. Mittelwert und Standardabweichung werden von Extremwerten stark beeinflusst, der IQR dagegen betrachtet nur die mittlere Hälfte und ist daher robust gegenüber Extremwerten.

Das von Tukey vorgeschlagene Ausreißerkriterium lautet:

• Unterer Zaun: Q1 − 1.5 × IQR
• Oberer Zaun: Q3 + 1.5 × IQR
• Werte außerhalb der Zäune werden als Ausreißerkandidaten markiert. Werte außerhalb von 3 × IQR werden mitunter gesondert als extreme Ausreißer ausgewiesen.

Wenden wir das auf den Maximalwert 25 der Beispieldaten an.

Derselbe Wert 25 ist je nach Methode ein Ausreißer oder nicht. Deshalb sollte ein Bericht immer angeben, welche Quartilsdefinition verwendet wurde, und das 1.5×IQR-Kriterium sollte nicht zur Auswahl „zu löschender Werte“ dienen, sondern zur Auswahl „nochmals zu prüfender Werte“.

So liest man einen Boxplot

Ein Boxplot (box plot) stellt die Quartile grafisch dar.

1. Box: Die untere Kante ist Q1, die obere Kante Q3. Die Höhe der Box entspricht dem IQR.
2. Linie in der Box: Das ist der Median. Liegt die Linie zu einer Seite der Box verschoben, ist die Verteilung asymmetrisch.
3. Whisker (whisker): Sie reichen bis zum entferntesten Datenpunkt innerhalb der Zäune – nicht bis zum Zaunwert selbst.
4. Punkte: Einzelne Punkte außerhalb der Whisker sind Ausreißerkandidaten.

Ist der obere Whisker länger als der untere und gibt es oben Punkte, liegt vermutlich eine rechtsschiefe Verteilung (positive Schiefe) vor. Diese Form ist typisch für Daten, die nicht unter 0 fallen können, etwa Einkommen, Verweildauer oder Wartezeiten.

Praxistipps

• Wenn Ergebnisse mit einem anderen Werkzeug übereinstimmen sollen, prüfen Sie zuerst dessen Definition. Beim Abgleich mit Excel-Nutzenden ist type 7 (INC) am unproblematischsten.
• Über Ausreißer entscheidet man erst nach Klärung der Ursache. Handelt es sich um Eingabefehler (falsche Einheit, Tippfehler bei Stellen), korrigiert man sie; handelt es sich um tatsächlich aufgetretene Extremwerte, behält man sie und berichtet zusätzlich robuste Kennzahlen wie Median und IQR.
• Perzentile haben dasselbe Problem. Auch Perzentile, die keine Quartile sind – etwa die Grenze der oberen 10 % (90. Perzentil) –, hängen von der Wahl der Positionsformel ab.
• Bei kleinen Stichproben sind die Quartile selbst instabil. Bei rund 10 Datenpunkten ist es informativer, alle Rohdaten als Punkte zu zeigen, als Quartile anzugeben.

Mit dem Rechner für deskriptive Statistik dieser Website können Sie für dieselben Daten die Quartilsmethode wechseln und Q1, Q3, IQR und Ausreißerzäune vergleichen.

Das Wichtigste in Kürze

• Für Quartile gibt es keine einheitliche Standarddefinition; Excel QUARTILE.INC entspricht R type 7, QUARTILE.EXC entspricht R type 6.
• Für das Beispiel 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 25 ergeben sich Q1 und Q3 als 5.5 und 12.75 (type 7), 4.75 und 13.5 (type 6) bzw. 5 und 13 (Tukey-Hinges).
• Die Ausreißerzäune sind Q1 − 1.5×IQR und Q3 + 1.5×IQR; je nach Methode kann derselbe Wert als Ausreißer gelten oder nicht.
• Die Whisker eines Boxplots reichen bis zum entferntesten Datenpunkt innerhalb der Zäune.
• Geben Sie im Bericht die Quartilsdefinition an und behandeln Sie Ausreißer als Prüf-, nicht als Löschkandidaten.

→ Jetzt berechnen: Deskriptiv

Aktualisiert 2026-09-23