Die Normalverteilung ist eine glockenförmige, symmetrisch um den Mittelwert liegende Verteilung. Werte, die aus vielen kleinen, sich addierenden Einflüssen entstehen – etwa Körpergröße, Messfehler oder viele Testergebnisse –, sind häufig annähernd normalverteilt. Außerdem nähert sich der Stichprobenmittelwert bei ausreichend großer Stichprobe unabhängig von der ursprünglichen Verteilung einer Normalverteilung an (zentraler Grenzwertsatz); deshalb beruhen viele Konfidenzintervalle und Tests auf der Normalverteilung.
Zwei Werte bestimmen die Normalverteilung
Die Normalverteilung ist durch zwei Werte vollständig festgelegt: den Mittelwert μ und die Standardabweichung σ. Man schreibt sie als N(μ, σ²) (an zweiter Stelle steht die Varianz).
- μ bestimmt die Lage der Glockenmitte.
- σ bestimmt die Breite der Glocke. Ist σ groß, ist die Kurve flach und breit, ist σ klein, hoch und schmal.
- Mittelwert, Median und Modus sind alle gleich μ.
- Die Gesamtfläche unter der Kurve ist 1; die Fläche über einem Intervall ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert in dieses Intervall fällt.
Der z-Wert: verschiedene Skalen vereinheitlichen
Der z-Wert gibt an, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
z = (x − μ) / σ
Durch die Umrechnung in z-Werte wird jede Normalverteilung zur Standardnormalverteilung N(0, 1) mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Daher lassen sich die Wahrscheinlichkeiten aller Normalverteilungen mit einer einzigen Tabelle (oder einem einzigen Rechner) bestimmen. Da z-Werte einheitenlos sind, eignen sie sich auch zum Vergleich von Ergebnissen aus zwei Prüfungen mit unterschiedlicher Skala. So sind beispielsweise 85 Punkte in einer Prüfung mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 10 (z=1.5) relativ gesehen ein besseres Ergebnis als 80 Punkte in einer Prüfung mit Mittelwert 60 und Standardabweichung 20 (z=1.0).
Die 68–95–99.7-Regel
Wählt man Intervalle in Einheiten der Standardabweichung, ist der Anteil innerhalb der Normalverteilung stets gleich.
| Intervall | Anteil innerhalb (genauer Wert) | Anteil außerhalb |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | ca. 68.27% | ca. 31.73% |
| μ ± 2σ | ca. 95.45% | ca. 4.55% |
| μ ± 3σ | ca. 99.73% | ca. 0.27% |
Diese Regel ist eine Näherung für das Kopfrechnen. Das Intervall, das genau 95 % enthält, ist nicht ±2σ, sondern ±1.96σ – daher stammt die Zahl 1.96 bei Konfidenzintervallen. Entsprechend gilt für 90 % ±1.645σ und für 99 % ±2.576σ.
So liest man kumulierte Wahrscheinlichkeiten
Der grundlegendste Wert bei Berechnungen mit der Normalverteilung ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x), also die Wahrscheinlichkeit, höchstens x zu erhalten. Für die Standardnormalverteilung schreibt man Φ(z). Alle übrigen Wahrscheinlichkeiten lassen sich daraus ableiten.
- Wahrscheinlichkeit für mindestens x:
P(X ≥ x) = 1 − Φ(z) - Wahrscheinlichkeit zwischen a und b:
P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) − Φ(z_a) - Symmetrie:
Φ(−z) = 1 − Φ(z)
Bei stetigen Verteilungen hat ein einzelner Punkt die Wahrscheinlichkeit 0, daher spielt die Unterscheidung zwischen ≤ und < für das Ergebnis keine Rolle.
Beispiel 1: Wahrscheinlichkeit für höchstens eine bestimmte Punktzahl
Angenommen, die Ergebnisse einer Prüfung folgen einer Normalverteilung mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 10.
Wahrscheinlichkeit für höchstens 85 Punkte
- z-Wert:
z = (85 − 70) / 10 = 1.5 - Kumulierte Wahrscheinlichkeit:
Φ(1.5) ≈ 0.9332 - Interpretation: Etwa 93.32 % der Teilnehmenden erreichen höchstens 85 Punkte. 85 Punkte gehören zu den oberen etwa 6.68 %.
Wahrscheinlichkeit für mindestens 60 und höchstens 85 Punkte
- z-Wert für 60 Punkte:
(60 − 70) / 10 = −1.0→Φ(−1.0) ≈ 0.1587 - z-Wert für 85 Punkte:
1.5→Φ(1.5) ≈ 0.9332 - Differenz:
0.9332 − 0.1587 ≈ 0.7745 - Interpretation: Etwa 77.45 % der Teilnehmenden liegen zwischen 60 und 85 Punkten.
Wahrscheinlichkeit für höchstens 55 Punkte
Der z-Wert ist −1.5, und wegen der Symmetrie gilt Φ(−1.5) = 1 − 0.9332 ≈ 0.0668. Das ist genau die gleiche Wahrscheinlichkeit wie für mindestens 85 Punkte.
Beispiel 2: Die Grenze für die oberen x % zurückrechnen
Diesmal gehen wir umgekehrt von einer Wahrscheinlichkeit zur Punktzahl. „Wie viele Punkte braucht man, um zu den oberen 10 % zu gehören?“ fragt nach „der Punktzahl zur kumulierten Wahrscheinlichkeit 0.90“.
- Den z-Wert zur kumulierten Wahrscheinlichkeit 0.90 bestimmen:
z = Φ⁻¹(0.90) ≈ 1.2816 - Auf die ursprüngliche Skala zurückrechnen:
x = μ + z × σ = 70 + 1.2816 × 10 ≈ 82.82 - Interpretation: Ab etwa 82.82 Punkten gehört man zu den oberen 10 %.
Auf die gleiche Weise ergibt sich für die oberen 5 % z ≈ 1.6449, also 70 + 16.449 ≈ 86.45 Punkte. Für die unteren x % setzt man die kumulierte Wahrscheinlichkeit x direkt ein.
| Grenze | Kumulierte Wahrscheinlichkeit | z-Wert | Punktzahl (μ=70, σ=10) |
|---|---|---|---|
| Obere 25 % | 0.75 | ca. 0.6745 | ca. 76.74 |
| Obere 10 % | 0.90 | ca. 1.2816 | ca. 82.82 |
| Obere 5 % | 0.95 | ca. 1.6449 | ca. 86.45 |
| Obere 1 % | 0.99 | ca. 2.3263 | ca. 93.26 |
Beispiel 3: Anwendung auf den Stichprobenmittelwert
Berechnungen mit der Normalverteilung gelten nicht nur für einzelne Punktzahlen, sondern auch für den Stichprobenmittelwert. Wir ziehen aus der Prüfung mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 10 zufällig 25 Personen und bestimmen die Wahrscheinlichkeit, dass deren Durchschnitt mindestens 74 Punkte beträgt.
- Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts (Standardfehler):
σ / √n = 10 / √25 = 2 - z-Wert:
z = (74 − 70) / 2 = 2.0 - Wahrscheinlichkeit:
1 − Φ(2.0) ≈ 0.0228
Dass ein einzelner Prüfling mindestens 74 Punkte erreicht, ist mit 1 − Φ(0.4) ≈ 0.3446 durchaus häufig; dass der Durchschnitt von 25 Personen mindestens 74 Punkte beträgt, ist mit etwa 2.28 % dagegen selten. Mittelwerte streuen nämlich viel weniger als Einzelwerte. Genau hier setzen Konfidenzintervalle und Hypothesentests an.
Worauf man achten sollte
- Prüfen Sie die Normalverteilungsannahme. Wendet man die Normalverteilung auf Daten mit langem Ausläufer auf einer Seite an, etwa Einkommen oder Wartezeiten, liegt man bei den Wahrscheinlichkeiten in den Rändern deutlich daneben. Prüfen Sie die Form zuerst mit einem Histogramm oder einem Q-Q-Plot.
- Daten mit Ober- und Untergrenze (etwa Prüfungen mit 0–100 Punkten) können an beiden Enden von der Normalverteilung abweichen. Besondere Vorsicht ist beim Zurückrechnen extremer Grenzen wie der oberen 1 % geboten.
- Unterscheiden Sie Parameter und Schätzwerte. Wurden μ und σ aus einer Stichprobe geschätzt, ist das Ergebnis um diesen Schätzfehler unsicher.
Geben Sie Mittelwert und Standardabweichung in den Normalverteilungsrechner dieser Website ein, um kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Intervallwahrscheinlichkeiten und zurückgerechnete Werte sofort zu sehen.
Das Wichtigste in Kürze
- Die Normalverteilung ist durch den Mittelwert μ und die Standardabweichung σ festgelegt und lässt sich mit
z = (x − μ) / σin die Standardnormalverteilung überführen. - Innerhalb von μ ± 1σ, 2σ und 3σ liegen etwa 68.27 %, 95.45 % bzw. 99.73 %; das exakte 95-%-Intervall ist ±1.96σ.
- Bei Mittelwert 70 und Standardabweichung 10 beträgt die Wahrscheinlichkeit für höchstens 85 Punkte etwa 0.9332, für 60–85 Punkte etwa 0.7745.
- Der Standardfehler des Mittelwerts von 25 Personen ist
10 / √25 = 2; die Wahrscheinlichkeit für einen Durchschnitt von mindestens 74 Punkten beträgt etwa 0.0228. - Die Grenze der oberen 10 % ermittelt man über die Umkehrfunktion der kumulierten Wahrscheinlichkeit, etwa
70 + 1.2816 × 10 ≈ 82.82Punkte. - Auf schiefe Daten wendet man die Normalverteilung nicht unverändert an.