La loi normale est une distribution en forme de cloche, symétrique autour de la moyenne. Les grandeurs qui résultent de l'addition de nombreux petits facteurs, comme la taille, les erreurs de mesure ou beaucoup de notes d'examen, suivent souvent une distribution proche de la loi normale. De plus, lorsque l'échantillon est assez grand, la moyenne de l'échantillon suit approximativement une loi normale quelle que soit la distribution d'origine (théorème central limite) ; c'est pourquoi une grande partie des intervalles de confiance et des tests reposent sur la loi normale.
Les deux valeurs qui définissent une loi normale
Une loi normale est entièrement déterminée par deux valeurs : la moyenne μ et l'écart type σ. On la note N(μ, σ²) (le second paramètre est la variance).
- μ fixe la position du centre de la cloche.
- σ fixe la largeur de la cloche. Plus σ est grand, plus la cloche est basse et étalée ; plus il est petit, plus elle est haute et étroite.
- La moyenne, la médiane et le mode sont tous égaux à μ.
- L'aire totale sous la courbe vaut 1, et l'aire au-dessus d'un intervalle est la probabilité qu'une valeur tombe dans cet intervalle.
Le score z : ramener des échelles différentes à une seule
Le score z indique à combien d'écarts types une valeur se trouve de la moyenne.
z = (x − μ) / σ
En passant aux scores z, toute loi normale devient la loi normale centrée réduite N(0, 1), de moyenne 0 et d'écart type 1. Une seule table (ou une seule calculatrice) suffit alors pour obtenir les probabilités de n'importe quelle loi normale. Le score z étant sans unité, il sert aussi à comparer les résultats de deux examens notés sur des échelles différentes. Par exemple, un 85 à un examen de moyenne 70 et d'écart type 10 (z=1.5) est relativement meilleur qu'un 80 à un examen de moyenne 60 et d'écart type 20 (z=1.0).
La règle 68–95–99.7
Si l'on découpe des intervalles en unités d'écart type, la proportion de valeurs qu'ils contiennent est toujours la même pour une loi normale.
| Intervalle | Proportion à l'intérieur (valeur exacte) | Proportion à l'extérieur |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | environ 68.27 % | environ 31.73 % |
| μ ± 2σ | environ 95.45 % | environ 4.55 % |
| μ ± 3σ | environ 99.73 % | environ 0.27 % |
Cette règle est une approximation pour le calcul mental. L'intervalle qui contient exactement 95 % n'est pas ±2σ mais ±1.96σ : c'est de là que vient le nombre 1.96 des intervalles de confiance. De même, 90 % correspond à ±1.645σ et 99 % à ±2.576σ.
Lire une probabilité cumulée
La valeur la plus fondamentale des calculs sur la loi normale est la probabilité cumulée P(X ≤ x), c'est-à-dire la probabilité d'être inférieur ou égal à x. Pour la loi normale centrée réduite, on la note Φ(z). Toutes les autres probabilités s'en déduisent.
- Probabilité d'être supérieur ou égal à x :
P(X ≥ x) = 1 − Φ(z) - Probabilité d'être entre a et b :
P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) − Φ(z_a) - Symétrie :
Φ(−z) = 1 − Φ(z)
Pour une loi continue, la probabilité d'un point isolé vaut 0 ; la distinction entre ≤ et < n'a donc aucun effet sur le résultat.
Exemple 1 : probabilité d'obtenir au plus un certain score
Supposons que les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart type 10.
Probabilité d'obtenir 85 ou moins
- Score z :
z = (85 − 70) / 10 = 1.5 - Probabilité cumulée :
Φ(1.5) ≈ 0.9332 - Interprétation : environ 93.32 % des candidats obtiennent 85 ou moins. Un 85 place donc dans les 6.68 % supérieurs environ.
Probabilité d'obtenir entre 60 et 85
- Score z de 60 :
(60 − 70) / 10 = −1.0→Φ(−1.0) ≈ 0.1587 - Score z de 85 :
1.5→Φ(1.5) ≈ 0.9332 - Différence :
0.9332 − 0.1587 ≈ 0.7745 - Interprétation : environ 77.45 % des candidats obtiennent entre 60 et 85.
Probabilité d'obtenir 55 ou moins
Le score z vaut −1.5 et, par symétrie, Φ(−1.5) = 1 − 0.9332 ≈ 0.0668. C'est exactement la même probabilité que celle d'obtenir 85 ou plus.
Exemple 2 : retrouver le score seuil des x % supérieurs
On fait maintenant l'inverse : on part d'une probabilité pour trouver un score. « Quelle note faut-il pour faire partie des 10 % supérieurs ? » revient à demander « quel score correspond à une probabilité cumulée de 0.90 ? ».
- Trouver la valeur z correspondant à une probabilité cumulée de 0.90 :
z = Φ⁻¹(0.90) ≈ 1.2816 - Revenir à l'échelle d'origine :
x = μ + z × σ = 70 + 1.2816 × 10 ≈ 82.82 - Interprétation : à partir d'environ 82.82 points, on fait partie des 10 % supérieurs.
De la même façon, pour les 5 % supérieurs, z ≈ 1.6449, donc 70 + 16.449 ≈ 86.45 points. Pour les x % inférieurs, il suffit d'utiliser directement la probabilité cumulée x.
| Seuil | Probabilité cumulée | Valeur z | Score (μ=70, σ=10) |
|---|---|---|---|
| 25 % supérieurs | 0.75 | environ 0.6745 | environ 76.74 |
| 10 % supérieurs | 0.90 | environ 1.2816 | environ 82.82 |
| 5 % supérieurs | 0.95 | environ 1.6449 | environ 86.45 |
| 1 % supérieur | 0.99 | environ 2.3263 | environ 93.26 |
Exemple 3 : application à la moyenne d'un échantillon
Les calculs sur la loi normale s'appliquent non seulement aux scores individuels mais aussi à la moyenne d'un échantillon. Dans un examen de moyenne 70 et d'écart type 10, on tire au hasard 25 candidats ; calculons la probabilité que leur note moyenne soit supérieure ou égale à 74.
- Écart type de la moyenne de l'échantillon (erreur type) :
σ / √n = 10 / √25 = 2 - Score z :
z = (74 − 70) / 2 = 2.0 - Probabilité :
1 − Φ(2.0) ≈ 0.0228
Pour un candidat pris individuellement, la probabilité d'obtenir 74 ou plus est 1 − Φ(0.4) ≈ 0.3446, ce qui est courant ; mais la probabilité que la moyenne de 25 candidats atteigne 74 n'est que d'environ 2.28 %, ce qui est rare. En effet, une moyenne est bien moins dispersée que les valeurs individuelles. C'est le point de départ des intervalles de confiance et des tests d'hypothèse.
Points de vigilance
- Vérifiez l'hypothèse de normalité. Appliquer une loi normale à des données à longue queue, comme les revenus ou les temps d'attente, donne des probabilités très fausses dans les queues. Regardez d'abord la forme avec un histogramme ou un diagramme Q-Q.
- Les données bornées (examen noté de 0 à 100, etc.) peuvent s'écarter de la loi normale aux deux extrémités. Soyez particulièrement prudent lorsque vous calculez un seuil extrême comme celui du 1 % supérieur.
- Distinguez paramètres et estimations. Si μ et σ ont été estimés à partir d'un échantillon, les résultats héritent de l'incertitude de ces estimations.
Entrez la moyenne et l'écart type dans la calculatrice de loi normale de ce site pour obtenir immédiatement probabilités cumulées, probabilités d'intervalle et valeurs inverses.
À retenir
- Une loi normale est définie par sa moyenne μ et son écart type σ, et
z = (x − μ) / σla ramène à la loi normale centrée réduite. - Environ 68.27 %, 95.45 % et 99.73 % des valeurs se trouvent respectivement dans μ ± 1σ, 2σ et 3σ ; l'intervalle exact à 95 % est ±1.96σ.
- Avec une moyenne de 70 et un écart type de 10, la probabilité d'obtenir 85 ou moins est d'environ 0.9332, et celle d'obtenir entre 60 et 85 d'environ 0.7745.
- L'erreur type de la moyenne d'un échantillon de 25 personnes vaut
10 / √25 = 2, et la probabilité que cette moyenne atteigne 74 ou plus est d'environ 0.0228. - Le seuil des 10 % supérieurs s'obtient par la fonction inverse de la probabilité cumulée, par exemple
70 + 1.2816 × 10 ≈ 82.82points. - N'appliquez pas la loi normale telle quelle à des données fortement asymétriques.