Quartiles, IQR et valeurs aberrantes : pourquoi chaque méthode donne un résultat différent

Les quartiles sont les valeurs qui partagent des données triées en quatre parts égales. Le premier quartile Q1 marque les 25 % inférieurs, le deuxième quartile Q2 est la médiane et le troisième quartile Q3 marque les 75 % inférieurs. Le concept est simple, mais en calculant les quartiles des mêmes données avec Excel, avec R et selon un manuel de statistique, on obtient souvent des Q1 et Q3 différents. Ce n'est pas que la calculatrice se trompe : il existe plusieurs conventions pour fixer une position située entre deux données.

Pourquoi existe-t-il plusieurs méthodes

Avec 10 données, le « point des 25 % inférieurs » ne tombe exactement sur aucune valeur. On peut dire qu'il se situe vers la 2.5e valeur, ou vers la 3.25e. Le logiciel statistique R recense 9 définitions de ce type (type 1 à 9) ; les trois plus répandues sont les suivantes.

Si la position k n'est pas un entier, on interpole linéairement entre les deux valeurs voisines. Par exemple, pour k = 3.25, on ajoute à la 3e valeur 0.25 fois (4e valeur − 3e valeur). Dans la définition originale des charnières de Tukey, lorsque n est impair, la médiane est incluse dans les deux moitiés.

Mêmes données, quartiles différents

Voici 10 valeurs déjà triées.

2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 25

La médiane est la moyenne des 5e et 6e valeurs, soit (8+10)/2 = 9, identique pour les trois méthodes. Les différences apparaissent pour Q1 et Q3.

type 7 (Excel QUARTILE.INC)

• Position de Q1 : (10−1)×0.25 + 1 = 3.25 → 5 + 0.25×(7−5) = 5.5
• Position de Q3 : (10−1)×0.75 + 1 = 7.75 → 12 + 0.75×(13−12) = 12.75

type 6 (Excel QUARTILE.EXC)

• Position de Q1 : (10+1)×0.25 = 2.75 → 4 + 0.75×(5−4) = 4.75
• Position de Q3 : (10+1)×0.75 = 8.25 → 13 + 0.25×(15−13) = 13.5

Charnières de Tukey

• Médiane de la moitié inférieure 2, 4, 5, 7, 8 → 5
• Médiane de la moitié supérieure 10, 12, 13, 15, 25 → 13

Le type 6 tend à donner des valeurs un peu plus écartées vers les extrémités, le type 7 des valeurs plus resserrées vers le centre, et les charnières de Tukey se situent souvent entre les deux. Avec plusieurs centaines de données, les différences entre méthodes disparaissent presque, mais avec quelques dizaines de valeurs ou moins, elles peuvent aller jusqu'à changer l'interprétation des résultats.

L'IQR et les barrières à 1.5×IQR

L'écart interquartile IQR = Q3 − Q1 est la largeur occupée par les 50 % centraux des données. La moyenne et l'écart type sont très sensibles aux valeurs extrêmes, alors que l'IQR, qui ne regarde que la moitié centrale, y résiste bien.

Le critère de valeur aberrante proposé par Tukey est le suivant.

• Barrière inférieure : Q1 − 1.5 × IQR
• Barrière supérieure : Q3 + 1.5 × IQR
• Les valeurs situées à l'extérieur des barrières sont signalées comme valeurs aberrantes potentielles. Au-delà de 3 × IQR, on parle parfois séparément de valeurs aberrantes extrêmes.

Appliquons ce critère à la valeur maximale de l'exemple, 25.

La même valeur 25 est aberrante ou non selon la méthode. C'est pourquoi un rapport doit indiquer quelle définition des quartiles a été utilisée, et il vaut mieux se servir de la règle 1.5×IQR pour repérer des « valeurs à revérifier » plutôt que des « valeurs à supprimer ».

Lire une boîte à moustaches

La boîte à moustaches (box plot) est la représentation graphique des quartiles.

1. La boîte : son bord inférieur est Q1, son bord supérieur Q3. La hauteur de la boîte est donc l'IQR.
2. Le trait dans la boîte : c'est la médiane. Si ce trait est décalé vers un côté de la boîte, la distribution est asymétrique.
3. Les moustaches (whiskers) : elles vont jusqu'à la donnée la plus éloignée qui reste à l'intérieur des barrières, et non jusqu'à la valeur de la barrière elle-même.
4. Les points : les points isolés au-delà des moustaches sont les valeurs aberrantes potentielles.

Si la moustache supérieure est plus longue que l'inférieure et que des points apparaissent en haut, on peut soupçonner une distribution à longue queue droite (asymétrie positive). C'est une forme fréquente pour des données qui ne peuvent pas descendre sous 0, comme les revenus, les durées de visite ou les temps d'attente.

Conseils pratiques

• Si vous devez retrouver les résultats d'un autre outil, vérifiez d'abord la définition qu'il utilise. Pour comparer avec des utilisateurs d'Excel, le type 7 (INC) est le choix le plus sûr.
• Jugez une valeur aberrante après en avoir identifié la cause. S'il s'agit d'une erreur de saisie (erreur d'unité, faute de frappe sur un chiffre), corrigez-la ; s'il s'agit d'une valeur extrême bien réelle, conservez-la et rapportez aussi des statistiques robustes comme la médiane et l'IQR.
• Les centiles posent le même problème. Les centiles autres que les quartiles, comme la limite des 10 % supérieurs (90e centile), varient eux aussi selon la formule de position choisie.
• Avec un petit échantillon, les quartiles eux-mêmes sont instables. Avec une dizaine de données, montrer toutes les valeurs brutes sous forme de points apporte plus d'information que les quartiles.

La calculatrice de statistiques descriptives de ce site permet de changer de méthode de calcul des quartiles sur les mêmes données et de comparer Q1, Q3, l'IQR et les barrières des valeurs aberrantes.

À retenir

• Il n'existe pas de définition unique des quartiles : QUARTILE.INC d'Excel correspond au type 7 de R, et QUARTILE.EXC au type 6.
• Pour l'exemple 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 25, Q1 et Q3 valent 5.5 et 12.75 (type 7), 4.75 et 13.5 (type 6), 5 et 13 (charnières de Tukey).
• Les barrières des valeurs aberrantes sont Q1 − 1.5×IQR et Q3 + 1.5×IQR ; selon la méthode, une même valeur peut être aberrante ou non.
• Les moustaches d'une boîte à moustaches vont jusqu'à la donnée la plus éloignée à l'intérieur des barrières.
• Indiquez la définition des quartiles dans vos rapports et traitez les valeurs aberrantes comme des points à vérifier plutôt qu'à supprimer.

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Mis à jour le 2026-09-23