Correlação e regressão: r de Pearson, ρ de Spearman e interpretação da inclinação

Quando se quer saber se duas variáveis variam juntas, as primeiras ferramentas usadas são a análise de correlação e a análise de regressão. As duas compartilham boa parte dos cálculos, mas fazem perguntas diferentes. A correlação pergunta "com que força as duas variáveis variam juntas?", e a regressão pergunta "quando x varia uma unidade, quanto y varia em média?".

Coeficiente de correlação de Pearson r

O r de Pearson expressa a força e a direção da relação linear entre duas variáveis contínuas com um valor entre −1 e 1.

• r = Sxy / √(Sxx × Syy)
• Sxy = Σ(x−x̄)(y−ȳ), Sxx = Σ(x−x̄)², Syy = Σ(y−ȳ)²

r próximo de 1 indica forte relação linear positiva, próximo de −1 forte relação linear negativa, e próximo de 0 indica relação linear fraca. Os critérios de força variam conforme a área, mas é comum a convenção de considerar valores absolutos de 0.1, 0.3 e 0.5 como fraco, moderado e forte.

r próximo de 0 não significa ausência de relação. Mesmo uma relação curva nítida, como y = x², pode ter r perto de 0. Por isso, sempre olhe primeiro o gráfico de dispersão antes de calcular o coeficiente de correlação.

Correlação de postos de Spearman ρ

O ρ de Spearman é o r de Pearson calculado depois de substituir os valores originais por seus postos. Quando não há empates, equivale à seguinte fórmula simples.

• ρ = 1 − 6Σd² / (n(n²−1)) (d é a diferença de postos de cada par)

O ρ de Spearman capta relações que crescem ou decrescem consistentemente em uma direção (monotônicas), mesmo que não sejam retas, e é menos afetado por outliers. Também pode ser usado com dados ordinais (como rankings de satisfação).

Exemplo: horas de estudo e nota

Horas de estudo (x, em horas) e notas (y) de 6 alunos.

Passo 1: médias

x̄ = 21 / 6 = 3.5, ȳ = 370 / 6 ≈ 61.667

Passo 2: somas de quadrados e soma dos produtos cruzados

• Sxy = 24.167 + 10.000 + 0.333 − 0.833 + 9.500 + 30.833 = 74
• Sxx = 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 = 17.5
• Syy ≈ 333.333

Passo 3: r de Pearson

r = 74 / √(17.5 × 333.333) = 74 / √5833.33 ≈ 74 / 76.376 ≈ 0.9689

É uma relação linear positiva muito forte. O valor-p bicaudal do teste para esse r (hipótese nula ρ=0, 4 graus de liberdade) é cerca de 0.0014.

Passo 4: ρ de Spearman

Os postos de x são simplesmente 1 a 6, e os postos de y são 1, 2, 4, 3, 5, 6 (como 60 é menor que 61, os postos dos alunos 3 e 4 se invertem). As diferenças de postos d são 0, 0, −1, 1, 0, 0 e Σd² = 2.

ρ = 1 − 6 × 2 / (6 × (36 − 1)) = 1 − 12 / 210 ≈ 0.9429

Passo 5: reta de regressão

• Inclinação: b = Sxy / Sxx = 74 / 17.5 ≈ 4.2286
• Intercepto: a = ȳ − b × x̄ = 61.667 − 4.2286 × 3.5 ≈ 46.867
• Equação de regressão: ŷ ≈ 46.867 + 4.2286x

Interpretação da inclinação e de r²

• Inclinação 4.2286: prevê-se que um aluno que estudou 1 hora a mais tenha, em média, cerca de 4.23 pontos a mais. A inclinação tem unidade (pontos/hora), então muda se as unidades de x ou y mudarem. Já r não tem unidade.
• Intercepto 46.867: é o valor previsto quando x=0. Aqui corresponde a não estudar nada, mas como não há x=0 nos dados, trata-se de uma extrapolação fora da faixa observada e deve ser interpretado com cautela.
• Coeficiente de determinação r² ≈ 0.9387: significa que cerca de 93.9% da variação total das notas é explicada pela relação linear com as horas de estudo. Na regressão simples, r² é igual ao quadrado do r de Pearson.

A inclinação e r sempre têm o mesmo sinal, e vale a relação b = r × (s_y / s_x). Ou seja, mesmo com o mesmo r, a inclinação é maior quando a dispersão de y é maior.

O efeito de outliers

Vamos acrescentar um aluno aos dados acima: estudou 7 horas, mas tirou 30 pontos (digamos que passou mal no dia da prova).

Um único ponto mudou até o sinal do r de Pearson. Como o r de Pearson usa médias e quadrados dos desvios, um único ponto extremo em x e em y pode dominar o resultado. O ρ de Spearman também foi afetado, mas, por usar postos, a variação foi relativamente menor. Por isso, recomenda-se a seguinte sequência.

1. Verifique primeiro, no gráfico de dispersão, outliers e relações curvas.
2. Verifique se o outlier é erro de digitação ou um valor real.
3. Se for um valor real, relate os resultados com e sem o outlier, ou apresente também o ρ de Spearman.

Correlação não é causalidade

Mesmo com correlação forte, não se pode dizer que x é causa de y. Os motivos mais comuns são:

• Terceira variável (variável de confusão): as vendas de sorvete e os acidentes na água aumentam juntos, mas a causa de ambos é a temperatura.
• Causalidade reversa: só pela correlação não é possível distinguir se quem se exercita mais é mais saudável ou se quem é saudável se exercita mais.
• Acaso: ao examinar muitos pares de variáveis, correlações fortes aparecem por acaso até entre variáveis sem relação.
• Viés de seleção: se só entram na amostra pessoas que atendem a uma certa condição, correlações inexistentes podem surgir ou correlações existentes podem desaparecer.

Para afirmar causalidade, é preciso um experimento com alocação aleatória ou um desenho de estudo que controle sistematicamente as variáveis de confusão. A inclinação da regressão também deve ser interpretada com segurança não como "mudar x muda y", e sim como "entre sujeitos com x diferente, y difere em média tanto assim".

O que usar

Cole os pares x, y na calculadora de correlação e regressão deste site para ver de uma vez o r de Pearson, o ρ de Spearman, a equação de regressão e o r².

Resumo

• O r de Pearson indica a força da relação linear, e o ρ de Spearman a força da relação monotônica baseada em postos.
• Nos 6 pares do exemplo, r ≈ 0.9689, ρ ≈ 0.9429, equação de regressão ŷ ≈ 46.867 + 4.2286x e r² ≈ 0.9387.
• A inclinação é a variação média de y por unidade de x (com unidade), e r² é a proporção da variação de y explicada pela relação linear.
• Um único outlier pode mudar o r de Pearson de 0.9689 para −0.1149, então olhe primeiro o gráfico de dispersão.
• Nem a correlação nem a inclinação da regressão provam causalidade.

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Atualizado em 2026-09-23