信頼区間は、推定値を1つだけ報告する代わりに、「この程度の範囲に真の値があるだろう」という不確かさまであわせて伝える方法です。アンケート結果の「誤差範囲±3ポイント」も信頼区間の一種です。ところが、95%信頼区間という言葉はしばしば誤って解釈されます。この記事では、まず正確な意味を確認し、平均と比率の信頼区間を例題で計算します。
95%は何に対する95%なのか
母平均μは未知ですが、固定された1つの値です。一方、信頼区間は標本によって毎回変わる確率的な区間です。したがって95%という確率は、区間を作る方法についての確率です。
同じ方法で標本を抽出して信頼区間を作り続けると、そうして作った区間のうち約95%が真の値を含みます。
すでに計算を終えた1つの区間、たとえば[45.74, 54.26]について「μがこの中にある確率が95%」と言うのは、厳密には誤った表現です。この区間はμを含むか含まないかのどちらかであり、私たちがそれを知らないだけです。実務では「95%信頼水準で、母平均は45.74から54.26の間と推定される」のように、方法の信頼度を示す表現を使います。
次もよくある誤解です。
- 「データの95%がこの区間にある」：違います。信頼区間は母数（平均など）についての区間であり、個々のデータの範囲ははるかに広くなります。
- 「次の標本の平均が95%の確率でこの中に入る」：これも違います。それは予測区間の問題です。
信頼区間の基本構造
ほとんどの信頼区間は同じ形をしています。
推定値 ± 臨界値 × 標準誤差
臨界値は信頼水準が高いほど大きくなり、標準誤差は標本が大きいほど小さくなります。そのため、信頼水準を上げると区間は広くなり、標本を増やすと狭くなります。標準誤差は1/√nに比例するので、区間の幅を半分にするには標本を4倍に増やす必要があります。
zとt、どちらを使うか
平均の信頼区間の臨界値は、母標準偏差σがわかっているかどうかで変わります。
- σがわかっている（まれ）：標準正規分布のz値を使います。95%では
1.96です。 - σがわからず、標本標準偏差sで代用する（ほとんどの場合）：自由度
n−1のt分布のt値を使います。
t値は、sを推定することで生じる追加の不確かさを反映してzより大きくなります。標本が小さいほどその差は大きくなります。
| 自由度 | 95% t臨界値 |
|---|---|
| 2 | 約4.303 |
| 5 | 約2.571 |
| 10 | 約2.228 |
| 15 | 約2.131 |
| 30 | 約2.042 |
| 100 | 約1.984 |
| 無限大（z） | 約1.960 |
例題1：平均の信頼区間
標本16個の平均がx̄ = 50、標本標準偏差がs = 8だとします。
- 標準誤差：
SE = s / √n = 8 / √16 = 2 - 自由度：
16 − 1 = 15、95% t臨界値≈ 2.1314 - 誤差範囲：
2.1314 × 2 ≈ 4.263 - 信頼区間：
50 ± 4.263→[45.74, 54.26]
同じ計算をz（1.96）で行うと50 ± 3.92 → [46.08, 53.92]となり、区間が狭くなります。σがわからないのにzを使うと実際の被覆率が95%に届かなくなるため、小さな標本ではtを使う必要があります。
例題2：比率の信頼区間（WaldとWilson）
比率pの信頼区間には何通りもの式があります。教科書で最初に出てくるのはWald区間です。
- Wald：
p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n)
400人中120人が「はい」と答えたならp̂ = 0.30です。
- 標準誤差：
√(0.30 × 0.70 / 400) ≈ 0.02291 - 誤差範囲：
1.96 × 0.02291 ≈ 0.0449 - Wald 95%区間：
[0.2551, 0.3449]
Wilson区間は、標準誤差の中のp̂の代わりに仮説値を使う方式から導かれ、式は少し複雑ですが性質がよい区間です。
- Wilson：中心
(p̂ + z²/(2n)) / (1 + z²/n)、半幅z/(1 + z²/n) × √(p̂(1−p̂)/n + z²/(4n²))
同じデータに当てはめると[0.2572, 0.3466]で、Waldとほぼ同じです。nが大きくp̂が0や1から離れていれば、2つの方法は似た結果になります。
違いが表れるのは、標本が小さいときや比率が極端に近いときです。20人中2人（p̂ = 0.10）の場合を見てみます。
| 方法 | 95%区間 |
|---|---|
| Wald | [−0.0315, 0.2315] |
| Wilson | [0.0279, 0.3010] |
Wald区間は下限が負になり、比率として意味をなしません。また、Wald区間はこのような条件で実際の被覆率が名目の95%よりかなり低くなることが知られています。Wilson区間は0〜1の範囲を外れず、中心が0.5の側に少し引き寄せられ、被覆率も名目値により近くなります。そのため最近では、Wilson区間を標準として勧めることが多くなっています。
信頼区間と仮説検定の関係
平均の95%信頼区間と有意水準0.05の両側t検定は、同じ情報を別の形で示しています。ある値μ₀が95%信頼区間の外にあれば、「母平均はμ₀である」という帰無仮説の両側p値は0.05より小さくなります。逆に区間の中にあれば、p値は0.05以上です。
例題1の区間[45.74, 54.26]は45を含みません。実際に帰無仮説μ₀ = 45で1標本t検定を行うとt = (50 − 45) / 2 = 2.5、自由度15で両側p ≈ 0.0245となり、0.05より小さくなります。信頼区間はこれに加えて「もっともらしい値の範囲」まで示すので、p値1つより情報量が多いのです。
標本サイズの効果も確認してみます。同じx̄ = 50、s = 8で標本が64個なら、標準誤差は8 / 8 = 1、自由度63のt臨界値は約1.998なので、区間は50 ± 2.00 → [48.00, 52.00]です。標本を4倍にすると、幅は約8.53から4.00へと半分以下になりました（t臨界値も一緒に小さくなったためです）。
実務のヒント
- 信頼水準と方法をあわせて書きます。 「95% CI（t分布）」「95% CI（Wilson）」のように書きます。
- 2つの区間が重なっているからといって、差がないと断定しません。 2つの平均の差の信頼区間を直接計算するのが正確です。
- 標本が代表性を持っているかが先決です。 信頼区間は無作為抽出による誤差だけを反映しており、回答の偏りや標本選択の偏りは反映しません。
このサイトの信頼区間計算機で、平均（z・t）と比率（Wald・Wilson）の区間を並べて計算できます。
まとめ
- 95%は区間を作る方法の長期的な被覆率であり、計算された1つの区間にμがある確率ではありません。
- 信頼区間は
推定値 ± 臨界値 × 標準誤差という構造で、幅を半分にするには標本を4倍に増やす必要があります。 - σがわからなければt分布を使います。n=16、x̄=50、s=8の95%区間は
[45.74, 54.26]です。 - 比率120/400の95%区間は、Wald
[0.2551, 0.3449]、Wilson[0.2572, 0.3466]です。 - 小さな標本や極端な比率（例：2/20）ではWaldが負の下限を出すなど不正確になるため、Wilsonを勧めます。