O intervalo de confiança é uma forma de comunicar, em vez de uma única estimativa, também a incerteza: "o valor verdadeiro deve estar dentro desta faixa". A "margem de erro de ±3 p.p." das pesquisas também é uma forma de intervalo de confiança. Mas a expressão "intervalo de confiança de 95%" costuma ser mal interpretada. Neste artigo, primeiro esclarecemos o significado exato e depois calculamos intervalos de confiança para média e proporção com exemplos.
95% de quê?
A média populacional μ é desconhecida, mas é um valor fixo. Já o intervalo de confiança é um intervalo aleatório, que muda a cada amostra. Portanto, a probabilidade de 95% se refere ao método de construir o intervalo.
Se amostras forem retiradas repetidamente do mesmo modo e um intervalo de confiança for construído a cada vez, cerca de 95% desses intervalos conterão o valor verdadeiro.
Dizer, sobre um único intervalo já calculado, como [45.74, 54.26], que "há 95% de probabilidade de μ estar aqui dentro" é, a rigor, incorreto. Esse intervalo contém μ ou não contém, e apenas não sabemos qual dos dois. Na prática, usa-se uma formulação que deixa clara a confiabilidade do método, como "com nível de confiança de 95%, estima-se que a média populacional esteja entre 45.74 e 54.26".
Os equívocos a seguir também são comuns.
- "95% dos dados estão neste intervalo": não. O intervalo de confiança se refere a um parâmetro (como a média), e a faixa dos dados individuais é muito mais ampla.
- "A média da próxima amostra cairá aqui dentro com 95% de probabilidade": também não. Isso é assunto do intervalo de predição.
A estrutura básica do intervalo de confiança
A maioria dos intervalos de confiança tem o mesmo formato.
estimativa ± valor crítico × erro padrão
O valor crítico cresce com o nível de confiança, e o erro padrão diminui com o tamanho da amostra. Por isso, aumentar o nível de confiança alarga o intervalo, e aumentar a amostra o estreita. Como o erro padrão é proporcional a 1/√n, para reduzir a largura do intervalo pela metade é preciso quadruplicar a amostra.
z ou t: qual usar?
No intervalo de confiança da média, o valor crítico depende de se conhecer ou não o desvio padrão populacional σ.
- σ é conhecido (raro): usa-se o valor z da normal padrão. Para 95%, é
1.96. - σ é desconhecido e substituído pelo desvio padrão amostral s (maioria dos casos): usa-se o valor t da distribuição t com
n−1graus de liberdade.
O valor t é maior que z porque reflete a incerteza adicional de estimar s. Quanto menor a amostra, maior a diferença.
| Graus de liberdade | Valor crítico t de 95% |
|---|---|
| 2 | cerca de 4.303 |
| 5 | cerca de 2.571 |
| 10 | cerca de 2.228 |
| 15 | cerca de 2.131 |
| 30 | cerca de 2.042 |
| 100 | cerca de 1.984 |
| Infinito (z) | cerca de 1.960 |
Exemplo 1: intervalo de confiança da média
Suponha uma amostra de 16 valores com média x̄ = 50 e desvio padrão amostral s = 8.
- Erro padrão:
SE = s / √n = 8 / √16 = 2 - Graus de liberdade:
16 − 1 = 15, valor crítico t de 95%≈ 2.1314 - Margem de erro:
2.1314 × 2 ≈ 4.263 - Intervalo de confiança:
50 ± 4.263→[45.74, 54.26]
Fazendo o mesmo cálculo com z (1.96), obtém-se 50 ± 3.92 → [46.08, 53.92], um intervalo mais estreito. Usar z sem conhecer σ faz a cobertura real ficar abaixo de 95%, por isso, em amostras pequenas, deve-se usar t.
Exemplo 2: intervalo de confiança da proporção (Wald e Wilson)
Há várias fórmulas para o intervalo de confiança de uma proporção p. A primeira que aparece nos livros-texto é o intervalo de Wald.
- Wald:
p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n)
Se 120 de 400 pessoas responderam "sim", então p̂ = 0.30.
- Erro padrão:
√(0.30 × 0.70 / 400) ≈ 0.02291 - Margem de erro:
1.96 × 0.02291 ≈ 0.0449 - Intervalo de Wald de 95%:
[0.2551, 0.3449]
O intervalo de Wilson é derivado de uma abordagem que usa o valor hipotético, em vez de p̂, dentro do erro padrão; a fórmula é um pouco mais complexa, mas suas propriedades são melhores.
- Wilson: centro
(p̂ + z²/(2n)) / (1 + z²/n), semiamplitudez/(1 + z²/n) × √(p̂(1−p̂)/n + z²/(4n²))
Aplicado aos mesmos dados, dá [0.2572, 0.3466], quase igual ao de Wald. Quando n é grande e p̂ está longe de 0 e de 1, os dois métodos dão resultados parecidos.
A diferença aparece quando a amostra é pequena ou a proporção está perto dos extremos. Vejamos o caso de 2 em 20 pessoas (p̂ = 0.10).
| Método | Intervalo de 95% |
|---|---|
| Wald | [−0.0315, 0.2315] |
| Wilson | [0.0279, 0.3010] |
O intervalo de Wald tem limite inferior negativo, o que não faz sentido para uma proporção. Além disso, sabe-se que, nessas condições, a cobertura real do intervalo de Wald fica bem abaixo dos 95% nominais. O intervalo de Wilson não sai da faixa de 0 a 1, tem o centro levemente puxado em direção a 0.5 e sua cobertura fica mais próxima do valor nominal. Por isso, hoje se recomenda com frequência o intervalo de Wilson como padrão.
Relação entre intervalo de confiança e teste de hipótese
O intervalo de confiança de 95% da média e o teste t bicaudal com nível de significância 0.05 mostram a mesma informação de formas diferentes. Se um valor μ₀ está fora do intervalo de confiança de 95%, o valor-p bicaudal da hipótese nula "a média populacional é μ₀" é menor que 0.05. Inversamente, se está dentro do intervalo, o valor-p é 0.05 ou mais.
O intervalo [45.74, 54.26] do Exemplo 1 não contém 45. De fato, fazendo um teste t de uma amostra com hipótese nula μ₀ = 45, obtém-se t = (50 − 45) / 2 = 2.5 e, com 15 graus de liberdade, p bicaudal ≈ 0.0245, menor que 0.05. O intervalo de confiança mostra, além disso, "a faixa de valores plausíveis", então traz mais informação do que um único valor-p.
Vejamos também o efeito do tamanho da amostra. Com os mesmos x̄ = 50 e s = 8, se a amostra tiver 64 valores, o erro padrão é 8 / 8 = 1 e o valor crítico t com 63 graus de liberdade é cerca de 1.998, então o intervalo é 50 ± 2.00 → [48.00, 52.00]. Quadruplicando a amostra, a largura caiu de cerca de 8.53 para 4.00, menos da metade (porque o valor crítico t também diminuiu).
Dicas práticas
- Informe o nível de confiança e o método. Escreva, por exemplo, "IC de 95% (distribuição t)" ou "IC de 95% (Wilson)".
- Não conclua que não há diferença só porque dois intervalos se sobrepõem. O correto é calcular diretamente o intervalo de confiança da diferença entre as duas médias.
- Antes de tudo, a amostra precisa ser representativa. O intervalo de confiança reflete apenas o erro de amostragem aleatória, não o viés de resposta nem o viés de seleção da amostra.
Na calculadora de intervalo de confiança deste site, você pode calcular lado a lado os intervalos da média (z·t) e da proporção (Wald·Wilson).
Resumo
- Os 95% são a taxa de cobertura de longo prazo do método que constrói o intervalo, não a probabilidade de μ estar em um intervalo já calculado.
- O intervalo de confiança tem a estrutura
estimativa ± valor crítico × erro padrão, e para reduzir sua largura pela metade é preciso quadruplicar a amostra. - Se σ é desconhecido, usa-se a distribuição t. Com n=16, x̄=50 e s=8, o intervalo de 95% é
[45.74, 54.26]. - Para a proporção 120/400, o intervalo de 95% é
[0.2551, 0.3449]por Wald e[0.2572, 0.3466]por Wilson. - Em amostras pequenas ou proporções extremas (por exemplo, 2/20), Wald é impreciso e pode dar limite inferior negativo, por isso se recomenda Wilson.