Ao planejar uma pesquisa, a primeira pergunta que surge é "quantas pessoas preciso entrevistar?". Com poucas, o erro dos resultados fica grande demais para ser útil; com muitas, desperdiçam-se custo e tempo. O tamanho da amostra de uma pesquisa que estima uma proporção pode ser obtido com uma fórmula simples, bastando definir a margem de erro e o nível de confiança desejados.
A fórmula básica
Para estimar uma proporção populacional p dentro de uma margem de erro E, o tamanho de amostra necessário é:
n = z² × p(1−p) / E²
O significado de cada símbolo é o seguinte.
z: valor crítico da normal padrão correspondente ao nível de confiança (cerca de 1.645 para 90%, 1.960 para 95% e 2.576 para 99%)p: proporção de resposta esperadaE: margem de erro tolerada (em forma decimal; para ±3 p.p., 0.03)
Essa fórmula vem do intervalo de confiança da proporção p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n), igualando a parte da margem de erro a E e resolvendo para n. O resultado é sempre arredondado para cima. Arredondar para baixo faz a margem de erro desejada deixar de ser atendida.
Por que usar p = 0.5
Antes da pesquisa não se conhece a proporção real, mas a fórmula contém p. Nesse caso, normalmente se usa p = 0.5, porque p(1−p) atinge o valor máximo, 0.25, quando p é 0.5.
| p | p(1−p) |
|---|---|
| 0.1 ou 0.9 | 0.09 |
| 0.2 ou 0.8 | 0.16 |
| 0.3 ou 0.7 | 0.21 |
| 0.5 | 0.25 |
Ou seja, o tamanho de amostra calculado com p=0.5 é o valor mais conservador, que atende à margem de erro qualquer que seja a proporção real. Também serve para todas as perguntas quando várias são feitas no mesmo questionário. Se houver informação confiável de uma pesquisa anterior de que a proporção fica em torno de 20%, pode-se calcular com p=0.2 e reduzir a amostra. Com 95% e ±5 p.p., p=0.5 exige 385 pessoas, mas p=0.2 exige 246.
Exemplo: nível de confiança de 95%, margem de erro de ±5 p.p.
z = 1.96,p = 0.5,E = 0.05n = 1.96² × 0.25 / 0.05² = 3.8415 × 0.25 / 0.0025 ≈ 384.15- Arredondando para cima: 385 pessoas
Frases comuns em pesquisas eleitorais, como "±3.1 p.p. com 95% de confiança", correspondem a amostras de cerca de 1,000 pessoas.
Tamanho de amostra necessário por nível de confiança e margem de erro
Valores para população suficientemente grande e p=0.5 (todos arredondados para cima).
| Nível de confiança | ±1 p.p. | ±3 p.p. | ±5 p.p. |
|---|---|---|---|
| 90% | 6,764 | 752 | 271 |
| 95% | 9,604 | 1,068 | 385 |
| 99% | 16,588 | 1,844 | 664 |
A tabela revela duas tendências.
- Para reduzir a margem de erro pela metade, a amostra precisa ser cerca de 4 vezes maior, porque n é inversamente proporcional a E². Para ficar 5 vezes mais preciso, passando de ±5 p.p. para ±1 p.p., são necessárias 25 vezes mais pessoas.
- Subir o nível de confiança de 95% para 99% exige cerca de 1.73 vez mais, pois
(2.576/1.960)² ≈ 1.73.
No sentido inverso: obter a margem de erro a partir do tamanho da amostra
Se o tamanho da amostra já está definido, usa-se a fórmula ao contrário para obter a margem de erro.
E = z × √(p(1−p) / n)
Com 95% e p=0.5, 200 respostas dão 1.96 × √(0.25/200) ≈ 0.0693 (cerca de ±6.9 p.p.), 500 respostas cerca de ±4.4 p.p. e 2,000 respostas cerca de ±2.2 p.p. Conhecer esse valor ao ler resultados de pesquisas com número de respostas definido ajuda a avaliar se a diferença entre duas opções está dentro da margem de erro.
Correção para população finita
A fórmula acima supõe uma população muito grande. Se a população N for pequena e a amostra representar uma parte considerável dela, a amostra necessária diminui. Isso se chama correção para população finita (FPC).
n = n₀ / (1 + (n₀ − 1) / N)
Aqui, n₀ é o valor obtido pela fórmula anterior (antes do arredondamento). Alguns livros escrevem o denominador como 1 + n₀/N; se N for de algumas centenas ou mais, a diferença de resultado é mínima.
Em uma empresa com 2,000 funcionários, pesquisando com 95% e ±5 p.p.:
n₀ ≈ 384.15n = 384.15 / (1 + 383.15 / 2000) = 384.15 / 1.1916 ≈ 322.39- Arredondando para cima: 323 pessoas
A variação conforme o tamanho da população mostra o efeito da correção (95%, ±5 p.p.).
| População N | Amostra necessária |
|---|---|
| 500 | 218 |
| 2,000 | 323 |
| 10,000 | 370 |
| 100,000 | 383 |
| Muito grande | 385 |
Quando a população passa de algumas dezenas de milhares, a amostra necessária praticamente não depende do tamanho da população. É por isso que a amostra necessária para pesquisar com a mesma precisão um país de 200 milhões de habitantes e uma cidade de 500 mil habitantes é parecida. O critério usual é aplicar a correção quando a fração amostral (n/N) passa de 5%.
Considerando a taxa de resposta
O que a fórmula informa é o número final de respostas. O número de pessoas a quem enviar ou contatar é obtido dividindo pela taxa de resposta esperada.
envios = respostas necessárias / taxa de resposta esperada
Com 385 respostas necessárias e taxa de resposta esperada de 30%, 385 / 0.30 ≈ 1,283.3 → é preciso enviar para 1,284 pessoas. No exemplo da empresa acima (323 pessoas), com taxa de resposta de 30% seriam 1,077 envios, ou seja, mais da metade de todos os funcionários.
Porém, quanto menor a taxa de resposta, maior a chance de quem não respondeu ser diferente de quem respondeu (viés de não resposta). Aumentar a amostra reduz apenas o erro aleatório, não esse viés.
Se você planeja analisar subgrupos
Se pretende relatar não só o resultado geral, mas também resultados por faixa etária ou região, é preciso garantir a amostra necessária dentro de cada subgrupo. Dividindo 385 pessoas em 5 faixas etárias, ficam cerca de 77 por grupo, e a margem de erro dentro de cada uma sobe para cerca de ±11 p.p. (a 95%). Se quiser ±5 p.p. em cada subgrupo, precisará de quase 385 pessoas por grupo.
Pressupostos da fórmula
- Supõe amostragem aleatória simples. Com amostragem estratificada ou por conglomerados, é preciso corrigir multiplicando pelo efeito do desenho (design effect).
- Serve para estimar proporções. Estimar médias ou testes que comparam dois grupos usam outras fórmulas (que incluem desvio padrão, tamanho de efeito e poder).
- Em amostras de conveniência (como links abertos na internet), o próprio conceito de margem de erro não se aplica com rigor.
Informe o nível de confiança, a margem de erro, o tamanho da população e a taxa de resposta na calculadora de tamanho de amostra deste site para obter juntos o número de respostas necessárias e o número de envios.
Resumo
- A amostra necessária é
n = z² × p(1−p) / E², e o resultado é sempre arredondado para cima. - Se p for desconhecido, use 0.5, que maximiza
p(1−p), para um cálculo conservador. - Com 95%, são necessárias 385 pessoas para ±5 p.p., 1,068 para ±3 p.p. e 9,604 para ±1 p.p.
- Se a população for pequena, corrija com
n₀ / (1 + (n₀−1)/N). Com N=2,000, são 323 pessoas. - O número de envios é o número de respostas necessárias dividido pela taxa de resposta, e lembre-se de que o viés de não resposta não diminui com uma amostra maior.