A distribuição normal é uma distribuição em forma de sino, simétrica em torno da média. Valores formados pela soma de muitos pequenos fatores, como altura, erros de medição e muitas notas de prova, costumam se aproximar da distribuição normal. Além disso, a média amostral se aproxima da normal quando a amostra é grande o suficiente, qualquer que seja a distribuição original (teorema central do limite), e é por isso que boa parte dos intervalos de confiança e testes foi construída sobre a distribuição normal.
Os dois valores que definem a distribuição normal
A distribuição normal fica completamente determinada por dois valores: a média μ e o desvio padrão σ. Em símbolos, escreve-se N(μ, σ²) (o segundo parâmetro é a variância).
- μ define a posição do centro do sino.
- σ define a largura do sino. Com σ grande ele fica baixo e largo; com σ pequeno, alto e estreito.
- Média, mediana e moda são todas iguais a μ.
- A área total sob a curva é 1, e a área de um intervalo é a probabilidade de um valor cair nesse intervalo.
Escore z: diferentes escalas em uma só
O escore z indica a quantos desvios padrão um valor está da média.
z = (x − μ) / σ
Ao converter em escore z, toda distribuição normal vira a distribuição normal padrão N(0, 1), com média 0 e desvio padrão 1. Assim, com uma única tabela (ou uma única calculadora) é possível obter as probabilidades de qualquer distribuição normal. Como o escore z não tem unidade, ele também é útil para comparar notas de duas provas com escalas diferentes. Por exemplo, 85 pontos em uma prova com média 70 e desvio padrão 10 (z=1.5) é um desempenho relativamente melhor que 80 pontos em uma prova com média 60 e desvio padrão 20 (z=1.0).
A regra 68–95–99.7
Tomando intervalos em unidades de desvio padrão, a proporção dentro da distribuição normal é sempre a mesma.
| Intervalo | Proporção dentro (valor exato) | Proporção fora |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | cerca de 68.27% | cerca de 31.73% |
| μ ± 2σ | cerca de 95.45% | cerca de 4.55% |
| μ ± 3σ | cerca de 99.73% | cerca de 0.27% |
Essa regra é uma aproximação para cálculo mental. O intervalo que contém exatamente 95% não é ±2σ, e sim ±1.96σ, e é daí que vem o número 1.96 nos intervalos de confiança. Da mesma forma, 90% corresponde a ±1.645σ e 99% a ±2.576σ.
Como ler a probabilidade acumulada
O valor mais básico nos cálculos com a distribuição normal é a probabilidade acumulada P(X ≤ x), ou seja, a probabilidade de ser menor ou igual a x. Na normal padrão, escreve-se Φ(z). Todas as outras probabilidades são obtidas a partir dela.
- Probabilidade de ser maior ou igual a x:
P(X ≥ x) = 1 − Φ(z) - Probabilidade de estar entre a e b:
P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) − Φ(z_a) - Simetria:
Φ(−z) = 1 − Φ(z)
Em distribuições contínuas, a probabilidade de um ponto isolado é 0, então a distinção entre ≤ e < não afeta o resultado.
Exemplo 1: probabilidade de uma nota ser menor ou igual a um valor
Suponha que as notas de uma prova sigam uma distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10.
Probabilidade de 85 pontos ou menos
- Escore z:
z = (85 − 70) / 10 = 1.5 - Probabilidade acumulada:
Φ(1.5) ≈ 0.9332 - Interpretação: cerca de 93.32% dos candidatos têm 85 pontos ou menos. 85 pontos corresponde aos cerca de 6.68% superiores.
Probabilidade de 60 a 85 pontos
- Escore z de 60 pontos:
(60 − 70) / 10 = −1.0→Φ(−1.0) ≈ 0.1587 - Escore z de 85 pontos:
1.5→Φ(1.5) ≈ 0.9332 - Diferença:
0.9332 − 0.1587 ≈ 0.7745 - Interpretação: cerca de 77.45% dos candidatos estão entre 60 e 85 pontos.
Probabilidade de 55 pontos ou menos
O escore z é −1.5 e, pela simetria, Φ(−1.5) = 1 − 0.9332 ≈ 0.0668. É exatamente igual à probabilidade de 85 pontos ou mais.
Exemplo 2: calcular de trás para frente a nota dos x% superiores
Agora, ao contrário, obtemos a nota a partir da probabilidade. "Quantos pontos são necessários para ficar entre os 10% superiores?" equivale a perguntar "qual nota corresponde à probabilidade acumulada 0.90?".
- Encontre o valor z correspondente à probabilidade acumulada 0.90:
z = Φ⁻¹(0.90) ≈ 1.2816 - Volte para a escala original:
x = μ + z × σ = 70 + 1.2816 × 10 ≈ 82.82 - Interpretação: com cerca de 82.82 pontos ou mais, você está nos 10% superiores.
Do mesmo modo, para os 5% superiores z ≈ 1.6449, então a nota é 70 + 16.449 ≈ 86.45. Para os x% inferiores, basta usar diretamente a probabilidade acumulada x.
| Critério | Probabilidade acumulada | Valor z | Nota (μ=70, σ=10) |
|---|---|---|---|
| 25% superiores | 0.75 | cerca de 0.6745 | cerca de 76.74 |
| 10% superiores | 0.90 | cerca de 1.2816 | cerca de 82.82 |
| 5% superiores | 0.95 | cerca de 1.6449 | cerca de 86.45 |
| 1% superior | 0.99 | cerca de 2.3263 | cerca de 93.26 |
Exemplo 3: aplicar à média amostral
Os cálculos com a distribuição normal valem não só para notas individuais, mas também para a média amostral. Em uma prova com média 70 e desvio padrão 10, vamos calcular a probabilidade de que, ao sortear 25 pessoas, a média delas seja de 74 pontos ou mais.
- Desvio padrão da média amostral (erro padrão):
σ / √n = 10 / √25 = 2 - Escore z:
z = (74 − 70) / 2 = 2.0 - Probabilidade:
1 − Φ(2.0) ≈ 0.0228
A probabilidade de um aluno individual tirar 74 ou mais é 1 − Φ(0.4) ≈ 0.3446, algo comum, mas a probabilidade de a média de 25 alunos ser 74 ou mais é de cerca de 2.28%, algo raro. Isso ocorre porque a média se dispersa muito menos que os valores individuais. Esse é o ponto de partida dos intervalos de confiança e dos testes de hipótese.
Cuidados
- Verifique a suposição de normalidade. Aplicar a distribuição normal a dados com uma cauda longa, como renda e tempo de espera, erra bastante as probabilidades nas caudas. Confira o formato primeiro com um histograma ou um gráfico Q-Q.
- Dados com limite superior e inferior (como uma prova de 0 a 100) podem se afastar da normal nas duas extremidades. É preciso cuidado especial ao calcular critérios extremos, como o 1% superior.
- Distinga parâmetros de estimativas. Se μ e σ foram estimados a partir de uma amostra, o resultado carrega a incerteza desse erro de estimação.
Informe a média e o desvio padrão na calculadora de distribuição normal deste site para obter imediatamente probabilidades acumuladas, probabilidades de intervalo e valores inversos.
Resumo
- A distribuição normal é definida pela média μ e pelo desvio padrão σ, e
z = (x − μ) / σa converte na normal padrão. - Dentro de μ ± 1σ, 2σ e 3σ ficam cerca de 68.27%, 95.45% e 99.73%, respectivamente, e o intervalo exato de 95% é ±1.96σ.
- Com média 70 e desvio padrão 10, a probabilidade de 85 pontos ou menos é cerca de 0.9332, e a de 60 a 85 pontos é cerca de 0.7745.
- O erro padrão da média de uma amostra de 25 é
10 / √25 = 2, e a probabilidade de essa média ser 74 ou mais é cerca de 0.0228. - A nota de corte dos 10% superiores é obtida pela inversa da probabilidade acumulada, como em
70 + 1.2816 × 10 ≈ 82.82. - Não aplique a distribuição normal diretamente a dados assimétricos.