Os quartis são os valores que dividem os dados ordenados em quatro partes. O primeiro quartil Q1 marca os 25% inferiores, o segundo quartil Q2 é a mediana e o terceiro quartil Q3 marca o ponto dos 75% inferiores. O conceito é simples, mas é comum que Q1 e Q3 saiam diferentes quando os mesmos dados são calculados no Excel, no R e em um livro-texto de estatística. Não é que a calculadora esteja errada: existem várias convenções sobre como definir a posição entre os dados.
Por que existem vários métodos
Com 10 valores, o "ponto dos 25% inferiores" não cai exatamente sobre um único valor. Pode-se dizer que fica por volta do 2.5º valor ou do 3.25º. O software estatístico R organiza essas definições em 9 tipos (type 1 a 9), e os três métodos mais usados são os seguintes.
| Método | Fórmula da posição (k-ésimo após ordenar) | Uso típico |
|---|---|---|
| R type 7 | k = (n−1)p + 1 | Excel QUARTILE.INC·PERCENTILE.INC, padrão do R, padrão do NumPy |
| R type 6 | k = (n+1)p | Excel QUARTILE.EXC·PERCENTILE.EXC, alguns livros-texto·Minitab |
| Dobradiças de Tukey | Divide pela mediana e toma a mediana de cada metade | Análise exploratória de dados, livros sobre boxplot, R fivenum() |
Se a posição k não for inteira, faz-se uma interpolação linear entre os dois valores vizinhos. Por exemplo, se k = 3.25, soma-se ao 3º valor 0.25 vezes (4º valor − 3º valor). Na definição original das dobradiças de Tukey, quando n é ímpar, a mediana entra nas duas metades.
Mesmos dados, quartis diferentes
Os 10 valores abaixo já estão ordenados.
2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 25
A mediana é a média do 5º e do 6º valores, (8+10)/2 = 9, igual nos três métodos. A diferença aparece em Q1 e Q3.
type 7 (Excel QUARTIL.INC)
- Posição de Q1:
(10−1)×0.25 + 1 = 3.25→5 + 0.25×(7−5) = 5.5 - Posição de Q3:
(10−1)×0.75 + 1 = 7.75→12 + 0.75×(13−12) = 12.75
type 6 (Excel QUARTIL.EXC)
- Posição de Q1:
(10+1)×0.25 = 2.75→4 + 0.75×(5−4) = 4.75 - Posição de Q3:
(10+1)×0.75 = 8.25→13 + 0.25×(15−13) = 13.5
Dobradiças de Tukey
- Mediana da metade inferior
2, 4, 5, 7, 8→5 - Mediana da metade superior
10, 12, 13, 15, 25→13
| Método | Q1 | Q3 | IQR |
|---|---|---|---|
| type 7 (INC) | 5.5 | 12.75 | 7.25 |
| type 6 (EXC) | 4.75 | 13.5 | 8.75 |
| Dobradiças de Tukey | 5 | 13 | 8 |
O type 6 tende a dar valores um pouco mais afastados para as extremidades, o type 7 valores mais concentrados para dentro, e as dobradiças de Tukey costumam ficar entre os dois. Com centenas de dados ou mais, a diferença entre os métodos praticamente desaparece, mas com algumas dezenas ou menos até a interpretação do resultado pode mudar.
IQR e as cercas de 1.5×IQR
A amplitude interquartil IQR = Q3 − Q1 é a largura ocupada pelos 50% centrais dos dados. A média e o desvio padrão são muito afetados por valores extremos, mas o IQR, por olhar apenas a metade central, é robusto a eles.
O critério de outliers proposto por Tukey é o seguinte.
- Cerca inferior:
Q1 − 1.5 × IQR - Cerca superior:
Q3 + 1.5 × IQR - Os valores fora das cercas são marcados como possíveis outliers. Às vezes, os que ficam além de
3 × IQRsão classificados à parte como outliers extremos.
Vamos aplicar isso ao máximo do exemplo, 25.
| Método | Cerca inferior | Cerca superior | 25 é outlier? |
|---|---|---|---|
| type 7 | 5.5 − 1.5×7.25 = −5.375 | 12.75 + 1.5×7.25 = 23.625 | Sim (acima de 23.625) |
| type 6 | 4.75 − 1.5×8.75 = −8.375 | 13.5 + 1.5×8.75 = 26.625 | Não |
| Dobradiças de Tukey | 5 − 1.5×8 = −7 | 13 + 1.5×8 = 25 | No limite (não está fora) |
O mesmo valor 25 é ou não outlier conforme o método. Por isso, o relatório deve informar qual definição de quartil foi usada, e o critério de 1.5×IQR deve servir para escolher "valores a verificar de novo", não "valores a remover".
Como ler um boxplot
O boxplot (diagrama de caixa) é a representação gráfica dos quartis.
- Caixa: a borda inferior é Q1 e a superior é Q3. A altura da caixa é o próprio IQR.
- Linha dentro da caixa: é a mediana. Se a linha estiver deslocada para um lado da caixa, a distribuição é assimétrica.
- Bigodes (whiskers): vão até o dado mais distante que ainda está dentro das cercas. Não são traçados até o valor da cerca em si.
- Pontos: os pontos individuais fora dos bigodes são os possíveis outliers.
Se o bigode superior for mais longo que o inferior e houver pontos acima, pode-se suspeitar de uma distribuição com cauda longa à direita (assimetria positiva). É um formato comum em dados que não podem ser negativos, como renda, tempo de permanência e tempo de espera.
Dicas práticas
- Se precisar bater os resultados com outra ferramenta, verifique primeiro a definição que ela usa. Ao comparar com usuários de Excel, o type 7 (INC) é o mais seguro.
- Decida sobre outliers depois de verificar a causa. Se for erro de digitação (unidade trocada, dígito a mais), corrija; se for um valor extremo que realmente ocorreu, mantenha-o e informe também estatísticas robustas como mediana e IQR.
- Os percentis têm o mesmo problema. Percentis que não são quartis, como o limite dos 10% superiores (percentil 90), também mudam conforme a fórmula de posição escolhida.
- Com amostras pequenas, os próprios quartis são instáveis. Com cerca de 10 dados, mostrar todos os dados brutos como pontos traz mais informação do que os quartis.
Na calculadora de estatística descritiva deste site, você pode trocar o método de quartil com os mesmos dados e comparar Q1·Q3·IQR e as cercas de outliers.
Resumo
- Não existe uma única definição padrão de quartil;
QUARTILE.INCdo Excel corresponde ao R type 7, eQUARTILE.EXCao R type 6. - No exemplo
2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 25, Q1·Q3 são 5.5·12.75 no type 7, 4.75·13.5 no type 6 e 5·13 nas dobradiças de Tukey. - As cercas de outliers são
Q1 − 1.5×IQReQ3 + 1.5×IQR, e o mesmo valor pode ou não ser outlier conforme o método. - Os bigodes do boxplot vão até o dado mais distante dentro das cercas.
- Informe a definição de quartil no relatório e trate os outliers como algo a verificar, não a remover.